Διαφορικούλα...

alexandrosvets · #1

Έστω $f(x) :[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty )$ για την οποία ισχύει:
$\bullet \frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{4e^x-9f(x)}{f'(x)}-6=0$ ,για κάθε $x\succ 0,f(x)\succ 0$
$\bullet f(0)=f'(0)=0$
$\bullet f'(x)$ συνεχής
Να βρεθεί η f(x)

.Aν υπάρχει κάποιο λάθος ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων.

maiksoul · #2

Η

μηπως είναι συνεχής;

alexandrosvets · #3

maiksoul έγραψε:Η μηπως είναι συνεχής;

Καλησπέρα σας,
Ναι είναι συνεχής

#4

alexandrosvets έγραψε:

Μήπως η αρχική συνθήκη είναι f(0)=f'(0)=1

;

maiksoul · #5

Καλησπέρα, νομίζω (αν δεν κάνω λάθος) πώς με τις αρχικές συνθήκες που έχουν δοθεί... υπάρχουν λύσεις
και είναι δύο συναρτησεις!,

alexandrosvets · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:
Μήπως η αρχική συνθήκη είναι ;

Kύριε Λάμπρου οι συνθήκες είναι όπως τις έχω στην εκφώνηση!

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα, νομίζω (αν δεν κάνω λάθος) πώς με τις αρχικές συνθήκες που έχουν δοθεί... υπάρχουν λύσεις
και είναι δύο συναρτησεις!,

Μία συνάρτηση προκύπτει!

Απλά να τονίσω η συνάρτηση που προκύπτει έχει ΠΟ όλο το R!

maiksoul · #7

Η δοσμένη σχέση γράφεται

$\displaystyle{ \,\,(\,\,f'(x) - 3f(x)\,\,)^2 = 4e^x f(x) \ne 0\,...\,\,\forall x \succ 0\,\, }$

άρα η συνεχής f'(x)-3f(x)

διατηρεί πρόσημο και παίρνουμε:

$\displaystyle{ \,f'(x) - 3f(x) = 2e^{\frac{x}{2}} \sqrt {f(x)} ...\forall x \succ 0.... \vee ....f'(x) - 3f(x) = - 2e^{\frac{x}{2}} \sqrt {f(x)} ...\forall x \succ 0\,\, }$

που γράφονται

$\displaystyle{ \,\,\,(e^{ - \frac{3}{2}x} \sqrt {f(x)} )' = ( - e^{ - x} )'...\forall x \succ 0... \vee ...(e^{ - \frac{3}{2}x} \sqrt {f(x)} )' = (e^{ - x} )'...\forall x \succ 0. }$

και προκύπτει:

$\displaystyle{ f(x) = (e^{\frac{3}{2}x} - e^{\frac{1}{2}x} )^2 \,..\,.\forall x \ge 0...$

δηλαδή τελικά είναι:

$\displaystyle{ f(x) = (e^{\frac{3}{2}x} - e^{\frac{1}{2}x} )^2 ...\forall x \ge 0\, }$

Νομίζω είναι εντάξει τώρα.

#8

Την ίδια απάντηση βρήκα, $f(x)=e^{3x} -2e^{2x} +e^x$ , με άλλη μεθοδολογία.

Χωρίς τις πράξεις: Η αλλαγή μεταβλητής $g(x)=e^{-x}f(x)$ , και άρα $g'(x)+g(x)=e^{-x}f'(x)$ , δίνει

4g^2(x) -4g(x)g'(x) + (g'(x))^2-4g(x)=0

. Βάζοντας g=h^2

και απλοποιώντας με το h^2

(που είναι $\ne 0$ από την υπόθεση f(x)>0

) θα προκύψει (h-h')^2=1

.

Άρα $h-h' = \pm 1$ . Αυτή είναι γραμμική πρώτου βαθμού. Έχει λύση $h(x) = Ce^x\pm 1$ . Από την αρχική συνθήκη θα βρούμε το

από όπου $h(x)=\pm (e^x-1)$ , άρα g(x)=h^2(x)= (e^x-1)^2

, οπότε $f(x)=e^x (e^x-1)^2=e^{3x} -2e^{2x} +e^x$

alexandrosvets · #9

Καλημέρα σας,
Κατ'αρχάς,μπράβο και στους δύο!

Ναι, αυτή είναι η συνάρτηση που ψάχναμε!
Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με την άσκηση!
Ελπίζω να μην σας ταλαιπώρησα!

Φιλικά,
Αλέξανδρος

#10

alexandrosvets έγραψε:

Ας προσθέσω ότι στην λύση που έδωσα χρησιμοποίησα μόνο το f(0)=0

. Το

περιττεύει αλλά πρέπει να κάνουμε έλεγχο στο τέλος οτι ικανοποιείται. Εδώ η απάντηση είναι καταφατική.

alexandrosvets · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:
Ας προσθέσω ότι στην λύση που έδωσα χρησιμοποίησα μόνο το . Το περιττεύει αλλά πρέπει να κάνουμε έλεγχο στο τέλος οτι ικανοποιείται. Εδώ η απάντηση είναι καταφατική.

Πρόσθεσα αυτό το δεδομένο μήπως χρειαστεί κάπου.Δεν ήμουν σίγουρος.Είμαι μαθητής και ήταν η πρώτη άσκηση που κατασκεύασα.Για αυτό σας είπα από την αρχή αν υπάρχει κάποιο λάθος "ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων".

maiksoul · #12

Πολύ ωραία!..πάντως στην αρχική εκφώνηση είναι καλό να προσθέσεις το δεδομένο πως η

έχει συνεχή παράγωγο.

#13

alexandrosvets έγραψε:Είμαι μαθητής και ήταν η πρώτη άσκηση που κατασκεύασα.

Τα θερμά μου συγχαρητήρια.

Τα λόγια περιττεύουν.

alexandrosvets · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Είμαι μαθητής και ήταν η πρώτη άσκηση που κατασκεύασα./quote]

Τα θερμά μου συγχαρητήρια.

Τα λόγια περιττεύουν.

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Λάμπρου!

Θωμάς Ποδηματάς · #15

Χαιρετώ το μαθητή και φίλο μου Αλέξανδρο. Να πω με τη σειρά μου, ότι νοιώθω τουλαχιστον περήφανος...

Θα τα πούμε και από κοντά Αλέξανδρε ...

Προς το παρόν

Θωμάς

kefababs · #16

alexandrosvets έγραψε: Απλά να τονίσω η συνάρτηση που προκύπτει έχει ΠΟ όλο το R!

Φαντάζομαι εννοείς ότι γενικά σαν συνάρτηση η $\displaystyle{{{e}^{3x}}-2{{e}^{2x}}+{{e}^{x}}}$ έχει Π.Ο. το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ γιατί στην προκειμένη περίπτωση νομίζω τη συνάρτηση f τη βρίσκουμε στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\left. +\infty \right) \right.}$ εφόσον η δοθείσα σχέση ισχύει $\displaystyle{\forall x\succ 0}$ και έχουμε και το $\displaystyle{f(0)}$ .Ασχολήθηκα και γω με την άσκηση η λύση μου είναι πάνω κάτω ίδια με του maiksoul...όπως και να χει, πολύ ωραία διαφορική!!

Φιλικά,
Μπάμπης

alexandrosvets · #17

kefababs έγραψε:
alexandrosvets έγραψε: Απλά να τονίσω η συνάρτηση που προκύπτει έχει ΠΟ όλο το R!
Φαντάζομαι εννοείς ότι γενικά σαν συνάρτηση η $\displaystyle{{{e}^{3x}}-2{{e}^{2x}}+{{e}^{x}}}$ έχει Π.Ο. το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ γιατί στην προκειμένη περίπτωση νομίζω τη συνάρτηση f τη βρίσκουμε στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\left. +\infty \right) \right.}$ εφόσον η δοθείσα σχέση ισχύει $\displaystyle{\forall x\succ 0}$ και έχουμε και το $\displaystyle{f(0)}$

Ναι αυτό εννοώ!Νομίζω ήταν ξεκάθαρο αυτό που είπα.

όπως και να χει, πολύ ωραία διαφορική!!

Να ΄σαι καλά!

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Διαφορικούλα...

Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Re: Διαφορικούλα...

Μέλη σε σύνδεση