Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

ΤΣΑΪΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Μήπως κάποιο ἀπό τά μέλη ἤ τούς ἐπισκέπτες τῆς κοινότητος μπορεῖ νά μέ πληροφορήσει ἄν ὑπάρχει περιττός ὑπερτελής ἀριθμός ;

Εὐχαριστῶ ἐκ τῶν προτέρων

Γ. Τ.

#2

ΤΣΑΪΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ὑπάρχει περιττός ὑπερτελής ἀριθμός ;

$3^3\cdot 5 \cdot 7 = 945$ με άθροισμα γνήσιων διαιρετών 975

.

Αρχιμήδης 6 · #3

Μετά την σημαντική βοήθεια του Μιχάλη να δούμε αν υπάρχουν άπειροι .

n=3^x*5*7

και εικάζω ότι όλοι πληρούν τα δεδομένα για κάθε x>2

Αρκεί

για κάθε

$s(n)=s(3^x*5*7)=s(3^x)s(5)s(7)=\dfrac{3^{x+1}-1}{2}*6*8$

Αρκεί

$24(3^{x+1}-1)>70*3^x$

$12(3^{x+1}-1)>35*3^x$

36*3^x-12>35*3^x

που ισχύει.

#4

Αρχιμήδης 6 έγραψε: και εικάζω ότι όλοι πληρούν τα δεδομένα για κάθε

Ενδιαφέρον. Τελικά μπορούμε να βρούμε πληθώρα υπερτελών με την εξής απλή παρατήρηση:

Αν υπερτελής, τότε και κάθε πολλαπλάσιό του είναι υπερτελής.

(διότι οι γνήσιοι διαιρέτες του

ικανοποιούν n_1+...+n_k > N

και οι γνήσιοι διαιρέτες του

περιλαμβάνουν τουλάχιστον τους $n_1M, \, ... , \, n_kM$ των οποίων το άθροισμα n_1M+...+n_kM = (n_1+...+n_k)M

είναι ήδη

).

Άρα αρχίζοντας από τον υπερτελή $N=3^3\cdot 5 \cdot 7$ έχουμε και π.χ. τους

$N=3^{n+3}\cdot 5 \cdot 7$ που προσδιόρισε ο Δημήτρης αλλά και τους

$3^3\cdot 5^n \cdot 7$

$3^3\cdot 5 \cdot 7^n$

$3^{n+3}\cdot 5^m \cdot 7^k$

$3^{n+3}\cdot 5^m \cdot 7^k\cdot 11^p$

$3^{n+3}\cdot 5^m \cdot 7^k\cdot 11^p \cdot 13^q$ και λοιπά

O μικρότερος περιττός υπερτελής ο οποίος είναι γινόμενο διαφορετικών ανά δύο διαδοχικών πρώτων είναι (λέει το κομπιουτεράκι μου) ο

$3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13= 15015$

Θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε αν υπάρχουν περιττοί υπερτελείς που δεν είναι πολλαπλάσια του

ή οποιουδήποτε άλλου προκαθορισμένου πρώτου.

Η απάντηση είναι καταφατική: Πράγματι, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η σειρά $\displaystyle{\sum _p \frac {1}{p}}$ (πάνω από τους πρώτους) αποκλίνει, υπάρχει

τέτοιο ώστε για πρώτους $p_1, \, ... \, , p_n$ ισχύει

$\left ( 1+ \frac {1}{p_1}\right ) \left ( 1+ \frac {1}{p_2}\right ) \cdot ... \cdot \left ( 1+ \frac {1}{p_n}\right ) >2$ .

Άρα $\left ( 1+ p_1\right ) \left ( 1+ p_2\right ) \cdot ... \cdot \left ( 1+ p_n\right ) >2p_1 p_2\cdot ... \cdot p_n$

και άρα ο $p_1 p_2\cdot ... \cdot p_n$ είναι υπερτελής.

Ακολουθώντας αυτή την ιδέα βρήκα από περιέργεια με το κομπιουτεράκι μου ότι ο μικρότερος περιττός μη πολλαπλάσιο του

υπερτελής αυτής της μορφής είναι ο

$5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29 \cdot 31=33426748355$

Έπεται ότι όλοι οι

$5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29 \cdot 31 \cdot 37$

$5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41$ και λοιπά

είναι υπερτελείς.

Για να έρθω στο αρχικό ερώτημα αν υπάρχουν περιττοί υπερτελείς, η απάντηση είναι ότι στους "μεγάλους περιττούς" είναι "μάλλον δύσκολο" να βρεις κάποιον που δεν είναι υπερτελής.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αρχιμήδης 6 · #5

Ας δώσω και κάποια ακόμα πορίσματα που προκύπτουν από αυτά που είπε παραπάνω ο Μιχάλης.

--- Αφού 1*2*3*4

υπερτελής τότε

υπερτελής για κάθε n>3

---Υπάρχουν άπειροι διαδοχικοί υπετελείς αριθμοί . Δεδoμένου ότι οι αριθμοί 2^3*11

,

υπερτελείς τότε αρκεί να λύσω την διοφαντική 8*11*x+1=3^3*5*7y

που έχει άπειρες μια εξ αυτών είναι (x,y)=(698,65)

άρα δυο διαδοχικοί είναι το ζεύγος (61424,61425)

--Υπάρχουν άπειρα ζεύγη υπερτελών με διαφορά

και αυτο προκύπτει πάλι όπως ο παραπάνω τρόπος.

Αρχιμήδης 6 · #6

-Επίσης ο αριθμός 3^3*5*7

είναι ο μικρότερος περιττός υπερτελής.

-Τέλος ισχύει ότι οι περιττοί υπερτελείς αριθμοί είναι αδύνατον να είναι όλοι όροι συγκεκριμένης αριθμητικής προόδου και αυτό φαίνεται από την απόδειξη του Μιχάλη ότι υπάρχουν υπερτελείς που δεν είναι πολλαπλάσια του 3 ή οποιουδήποτε άλλου προκαθορισμένου πρώτου.

Αν όλοι ήταν όροι αριθμητικής προόδου διαφοράς d>2

και προφανώς d=0mod2

τότε έστω

περιττός πρώτος που διαιρεί τον

για δυο υπερτελείς περιττούς 945p,n

θα πρέπει

και καθώς και p|945p-n

,

μα για κάθε πρώτο μπορώ να επιλέξω κατάλληλο υπερτελή αριθμό

που να μην διαιρείται από τον

άρα είναι αδύνατον .

Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Re: Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Re: Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Re: Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Re: Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Re: Περιττός ὑπερτελής ἀριθμός

Μέλη σε σύνδεση