Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Aspa1 · #1

Καλησπέρα. Θα ήθελα βοήθεια στην παρακάτω Άσκηση: Θέλω να μελετήσω τη μονοτονία της συνάρτησης $f:\left ( 0 \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο

$f(x)=\displaystyle\bigintsss_{\frac{1}{x^2}}^{\bigintsss_{0}^{x}{e^{s^2}ds}}t^xdt$

χωρίς να υπολογίσω όσα από τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στον τύπο της μπορούν να υπολογιστούν.

Ευχαριστώ.

#2

Aspa1 έγραψε:Άσκηση: Θέλω να μελετήσω τη μονοτονία της συνάρτησης $f:\left ( 0 \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο

$f(x)=\displaystyle\bigintsss_{\frac{1}{x^2}}^{\bigintsss_{0}^{x}{e^{s^2}ds}}t^xdt$

χωρίς να υπολογίσω όσα από τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στον τύπο της μπορούν να υπολογιστούν.

καλησπέρα Aspa1
και καλώς όρισες στο mathematica.gr.

Να ρωτήσω ποια είναι η πηγή της άσκησης;

Φιλικά

Υ.Γ. Περισσότερο αναγνώσιμο: $f(x)=\displaystyle\bigintsss_{1/x^2}^{\bigintsss_{0}^{x}{{\rm{exp}}({s^2})\,ds}}t^x\,dt$

Tolaso J Kos · #3

grigkost έγραψε: Να ρωτήσω ποια είναι η πηγή της άσκησης;

Γρηγόρη και

καλησπέρα,

τυχαίνει να γνωρίζω τη πηγή του θέματος. Είναι θέμα εξετάσεων Απειροστικού

στο μαθηματικό Ιωαννίνων.
Περιττό να πω , πως δεν έκατσα καν να υπολογίσω τη παράγωγο.

Καλό σας βράδυ!

#4

Tolaso J Kos έγραψε:...Είναι θέμα εξετάσεων Απειροστικού στο μαθηματικό Ιωαννίνων...

Τόλη, ευχαριστούμε για την ενημέρωση.

Με μεγάλο ενδιαφέρον θα έβλεπα μια "λύση" της άσκησης.

Aspa1 · #5

Είναι όντως θέμα Απειροστικού Λογισμού του Μαθηματικού Ιωαννίνων. Την προσπάθησα πολύ, αλλά μάταια.

Geraki · #6

Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για την διόρθωση.

#7

Geraki έγραψε: $\frac { \partial R }{ \partial x } =\int _{ 0 }^{ y }{ x{ t }^{ x-1 } } dt > 0$

Για ξαναδές το αυτό.

ttheodoros · #8

Επαναφορά

#9

Παραθέτω κάποιες σκέψεις για την επίλυση της άσκησης. (Δεν είναι πλήρης λύση αφού υπάρχει ένα σημείο που δεν έχει απαντηθεί):

Από τον κανόνα Leibniz

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl(\int_{a(x)}^{b(x)} g(t,x)\,\mathrm{d}t \biggr)= \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial{x}} g(t,x)\,\mathrm{d}t\,+ \,g\big(b(x),x\big)\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}b(x)\,- \,g\big(a(x),x \big)\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a(x)$

για

$\begin{aligned} g(t,x)&=t^x\,,\quad x\in(0,+\infty)\,,\,t\in(0,+\infty)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} a(x)&=\frac{1}{x^2}\,,\quad x\in(0,+\infty)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} b(x)&=\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}\,,\quad x\in(0,+\infty)\,. \end{aligned}$

προκύπτει

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)&=\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl(\int_{\frac{1}{x^2}}^{\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}}t^x\,\mathrm{d}t\biggr)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &= \int_{\frac{1}{x^2}}^{\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}}t^x\log{t}\,\mathrm{d}t+ \biggl(\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}\biggr)^x\,e^x-\Bigl({\frac{1}{x^2}}\Bigr)^x\,\Bigl({-\frac{1}{x^2}}\Bigr) \\\noalign{\vspace{0.2cm}} &= \int_{\frac{1}{x^2}}^{\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}}t^x\log{t}\,\mathrm{d}t+ \biggl(\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}\biggr)^x\,e^x+\Bigl({\frac{1}{x^2}}\Bigr)^{x+1}\,. \end{aligned}$

Εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε $x\in(0,+\infty)$ ισχύει

$\displaystyle\biggl(\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}\biggr)^x\,e^x+\Bigl({\frac{1}{x^2}}\Bigr)^{x+1}>0$ .

Απομένει να εξετάσουμε το πρόσημο του $\displaystyle\int_{\frac{1}{x^2}}^{\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}}t^x\log{t}\,\mathrm{d}t$ . Δεν κατάφερα να αποδείξω ότι αυτό είναι θετικό για κάθε $x\in(0,+\infty)$ , αλλά αποδεικνύεται(*) -όχι εύκολα- ότι η συνάρτηση $h(x):=\displaystyle\int_{\frac{1}{x^2}}^{\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}}t^x\log{t}\,\mathrm{d}t\,,\; x\in(0,+\infty)$ είναι αύξουσα. Αν δειχθεί ότι $\mathop{\lim}\limits_{x\to0^{+}}h(x)\geqslant0$ , τότε έχουμε αποδείξει το ζητούμενο.

(*) Η συνάρτηση $t^x\log{t}$ είναι, και ως προς

και ως προς

, αύξουσα, η συνάρτηση $\frac{1}{x^2}$ είναι φθίνουσα και η συνάρτηση $\int_{0}^{x}{e^{s^2}\mathrm{d}s}$ είναι αύξουσα.

Υ.Γ.1. Δεν επιθυμώ να σχολιάσω το ότι η συγκεκριμένη άσκηση ήταν θέμα εξετάσεων Απειρ. Λογισμού ΙΙ.
Υ.Γ.2. Ασχολήθηκα, όσο μου επέτρεψε ο χρόνος, με την επίλυση της άσκησης θέλοντας να τιμήσω όσους ασχολήθηκαν ή ενδιαφέρθηκαν για κάποια επίλυση.
Υ.Γ.3. Κάποια σημεία των παραπάνω σκέψεων προέκυψαν από μια συζήτηση με τον ΩmegaMan.

#10

Γρηγόρη νομίζω ότι η h(x)

τείνει προς το $-\infty$ καθώς το

τείνει προς το 0^+

Γιώργος Μπαλόγλου

Ωmega Man · #11

Πάντως και για τα άλλα θέματα που έβαλε ο "κύριος καθηγητής" χρειαζόμαστε κολλύριο, η κατάσταση στην Ελλάδα είναι απελπιστική, τι καθηγητές είναι αυτοί; Τα παιδιά που μπαίνουν εκεί λυπάμαι.

#12

Εντάξει, δεν νομίζω ότι η κατάσταση στην Ελλάδα είναι απελπιστική επειδή μπήκε ένα σάπιο θέμα στο μαθηματικό στα Γιάννενα. Μην τα κάνουμε ίσιωμα.

Ωmega Man · #13

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Εντάξει, δεν νομίζω ότι η κατάσταση στην Ελλάδα είναι απελπιστική επειδή μπήκε ένα σάπιο θέμα στο μαθηματικό στα Γιάννενα. Μην τα κάνουμε ίσιωμα. :mathexmastree:

Εμείς ήμασταν αλλού! Άσε έχω ακούσει και άλλα για το συγκεκριμένο τμήμα.

Ωmega Man · #14

: pap.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 3565 φορές

Έκανα ένα πλοτ για την h που αναφέρει ο Γρηγόρης που επαληθεύει και την παρατήρηση του Γιώργου. Κάπου μετά το 1/2 γίνεται θετική..."catch the egg and give it a haircut, Mr Baltas are you listening?"

#15

gbaloglou έγραψε:Γρηγόρη νομίζω ότι η τείνει προς το $-\infty$ καθώς το τείνει προς το

Ωmega Man έγραψε:...Έκανα ένα πλοτ για την h που αναφέρει ο Γρηγόρης που επαληθεύει και την παρατήρηση του Γιώργου. Κάπου μετά το 1/2 γίνεται θετική..

Γιώργο Μ. και Γιώργο Π. έχετε δίκιο. Έτσι, ούτε με αυτόν τον τρόπο "σώζεται" η άσκηση.

#16

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Εντάξει, δεν νομίζω ότι η κατάσταση στην Ελλάδα είναι απελπιστική επειδή μπήκε ένα σάπιο θέμα στο μαθηματικό στα Γιάννενα. Μην τα κάνουμε ίσιωμα.

Αναστάση εξαιρετικά αφιερωμένο:

Θέμα: Βρείτε θετικό πραγματικό αριθμό

τέτοιον ώστε το γράφημα της συνάρτησης $f :\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ με τύπο f(x)=e^x

να χωρίζει τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα

σε δυο, μη–κενά χωρία, από τα οποία εκείνο που δεν περιέχει την αρχή των αξόνων να έχει εμβαδόν ίσο με

. Απαιτείται σχήμα.

Ερώτηση: Εντελώς τυπικά βρίσκουμε τα σημεία τομής της δοθείσας περιφέρειας με την γραφική παράσταση της

. Ποια είναι αυτά;

Υ.Γ.1. Ήταν άλλο θέμα στην ίδια εξέταση που υπήρχε το θέμα που συζητάμε.
Υ.Γ.2. Όσο παράξενο και να φαίνεται υπάρχει και τρίτο "παρόμοιο" θέμα στην ίδια εξέταση.

Ωmega Man · #17

Αυτά τα 2 θέματα θα τα στείλω σε δυο ξένους καθηγητές έναν στο οχάιο και έναν στο penn να δουν οι άνθρωποι και να κρίνουν τι μαθαίνουμε εδώ, μπας και ξεστραβωθούν οι "κουτόφραγκοι" τίποτα δεν μαθαίνουν στους φοιτητές τους! Με gps και αν βρουν και που πέφτει η πόλη.

#18

Προτείνω, με αρκετά μεγάλη βεβαιότητα όσον αφορά την ορθότητα των πράξεων, την εξής σχολική (;!) προσέγγιση ... για την θετική μονοτονία της

:

Παρατηρούμε, ολοκληρώνοντας, ότι

$f(x)=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)^{x+1}}{x+1}-\frac{1}{(x+1)x^{2(x+1)}},$

αρκεί επομένως να δείξουμε ότι είναι αύξουσες, για x>0

, οι

$g(x)=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)^{x+1}}{x+1}$ και $h(x)=\displaystyle(x+1)x^{2(x+1)}$ .

Η h'(x)>0

προκύπτει άμεσα από τις $\displaystyle\frac{1}{x}+lnx\geq1$ (μελέτη συνάρτησης) και $(x^{2(x+1)})'=2(1+\displaystyle\frac{1}{x}+lnx)x^{2(x+1)}$ (λογαριθμική παραγώγιση).

Για την g'(x)>0

χρειαζόμαστε δύο λήμματα:

Λήμμα 1. $\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}<xe^{x^2}$ για x>0

.

Απόδειξη: $\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}<\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{x^2}ds}=xe^{x^2}$ .

Λήμμα 2. $\displaystyle\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\cdot\left(ln\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\right)\geq -\frac{1}{e}$ για x>0

.

Απόδειξη: $\left[\displaystyle\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\cdot\left(ln\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\right)\right]'=e^{x^2}\left(1+ln\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\right)$ , άρα η $\displaystyle\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\cdot\left(ln\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\right)$ έχει ολικό ελάχιστο στο $(0,\infty)$ , ίσο προς $-\displaystyle\frac{1}{e}$ , στο ένα και μοναδικό σημείο x_0

στο οποίο ισχύει η $\displaystyle\int_{0}^{x_0}{e^{s^2}ds}=\frac{1}{e}$ .

[Σημείωση: μπορούμε επίσης να δείξουμε (κανόνας l' Hospital), αν και δεν το χρειαζόμαστε, ότι η συνάρτηση του Λήμματος 2 τείνει στο

όταν το

τείνει στο

.]

Αρκεί πλέον για την ολοκλήρωση της απόδειξης να παρατηρηθεί, χρησιμοποιώντας λογαριθμική παραγώγιση και τα παραπάνω λήμματα, ότι

$g'(x)=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)^x}{(x+1)^2}\left[(x+1)\displaystyle\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\cdot\left(ln\left(\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)\right)+(x+1)^2e^{x^2}-\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right]>$

$>\displaystyle\frac{\left[-\displaystyle\frac{x+1}{e}+(x+1)^2e^{x^2}-xe^{x^2}\right]\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)^x}{(x+1)^2}>\frac{x^2\left(\displaystyle\int_{0}^{x}{e^{s^2}ds}\right)^x}{(x+1)^2}>0.$

[Θέμα εξετάσεων; Ίσως, αν είναι να ξεχωρίσουμε το 8 από το 10, με 'λογικά' όμως τα υπόλοιπα θέματα... Καταλληλότερο μάλλον για το σπίτι (homework ή take home exam), με ή χωρίς υποδείξεις και λήμματα -- στην πρώτη περίπτωση μέχρι και θέμα Δ Πανελλαδικών γίνεται

]

Γιώργος Μπαλόγλου

BAGGP93 · #19

Όσον αφορά στα θέματα της συγκεκριμμένης εξεταστικής στο μάθημα του Απειροστικού Λογισμού II, σύμφωνω απόλυτα με τους προλαλήσαντες.

Ωστόσο, δεν νομίζω ότι γενικά η κατάσταση στην Ελλάδα είναι άκρως απελπιστική, όπως την περιγράφει ο φίλος Ωmega Μan.

Θα μιλήσω για το Μαθηματικό Ιωαννίνων, στο οποίο είμαι φοιτητής και μπορώ να έχω μια γνώμη για το τι συμβαίνει. Στο τμήμα αυτό, υπάρχουν 3,4 καθηγητές, οι

οποίοι κάνουν πολύ καλή δουλειά, είναι διεθνώς γνωστοί, και προσωπικά, έμαθα πολλά πράγματα από αυτούς στα μαθηματικά. Συνεπώς, δεν πρέπει να μπαίνουν

όλοι στο ίδιο τσουβάλι. Είμαι σίγουρος πως και στα υπόλοιπα πανεπιστήμια της χώρας, υπάρχουν τέτοιοι άνθρωποι που ξεχωρίζουν και αυτούς δεν πρέπει να τους

βάζουμε ίσα και όμοια με τους υπόλοιπους. Βεβαίως, υπάρχουν και άλλοι, και δυστυχώς είναι πολλοί αυτοί, που ώρες ώρες μας κάνουν να καταριώμαστε την

ώρα και την στιγμή που μπήκαμε στο Μαθηματικό. Για να κλείσω, μιας και ο φάκελος δεν είναι ο κατάλληλος και αυτά που λέω είναι ίσως λίγο ρομαντικά,

αλλά αυτά πιστεύω, απ'όσο ξέρω, η Ελλάδα βγάζει ακόμα επιστήμονες στο εξωτερικό, και αυτοί βοήθηθηκαν από αυτούς τους κυρίους, και ας είναι λίγοι,

και επιτέλους, ας κάνουμε κάτι συλλογικό για να αλλάξει αυτή η κατάσταση και να έχουμε σωστά πανεπιστήμια.

Υ.Γ: Το θέμα που έθεσε ο Γρηγόρης, έχει τεθεί και σε προηγούμενη εξεταστική μόνο που εκεί είχαμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^2+1\,,x\in\mathbb{R}}$ .

#20

gbaloglou έγραψε:...Παρατηρούμε, ολοκληρώνοντας, ότι ...

Γιώργο M., η ακριβής εκφώνηση του θέματος είναι:

Χωρίς να υπολογίσετε όσα από τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στον τύπο της μπορούν να υπολογιστούν, μελετήστε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση $f:\left ( 0 \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο

$f(x)=\displaystyle\bigintsss_{\frac{1}{x^2}}^{\bigintsss_{0}^{x}{e^{s^2}ds}}t^xdt$ .

Δεν θα έπρεπε να θεωρήσουμε ότι το πρώτο βήμα (η ολοκλήρωση) που κάνεις δεν επιτρέπεται; Εγώ τουλάχιστον αυτό κατάλαβα.

Υ.Γ. Η υπογράμμιση δική μου.

Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Re: Βοήθεια σε Άσκηση με Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση