Διοφαντική Εξίσωση

#1

Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους

$x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x+y}{3}+1\right)^3$ .

Πηγή: USAMO.
Σχόλιο: H επίσημη λύση της επιτροπής διαγωνισμών των Η.Π.Α ίσως έχανε μια μονάδα αν βαθμολογούνταν σε ελληνικό Β.Κ., οπότε απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αρχιμήδης 6 · #2

achilleas έγραψε:Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους

$x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x+y}{3}+1\right)^3$ .

Πηγή: USAMO.
Σχόλιο: H επίσημη λύση της επιτροπής διαγωνισμών των Η.Π.Α ίσως έχανε μια μονάδα αν βαθμολογούνταν σε ελληνικό Β.Κ., οπότε απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Η εξίσωση έχει έναν περιορισμό. Ότι $x+y+3\geq0$

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την παρακάτω,

27(x-y)^2=(x+y-6)^2(4x+4y+3)

(Η εμφάνιση τον παραστάσεων x+y

,

δείχνει πως κατέληξα στην μορφή αυτή.)

Εδώ τα πράγματα είναι απλά. Από την παραπάνω θα πρέπει $x+y\equiv0mod3$ άρα

$(x-y)^2=(\dfrac{x+y-6}{3})^2(\dfrac{4x+4y+3}{3})$ και φυσικά τα κλάσματα είναι ακέραιοι.

Συνεπώς

4x+4y+3=3k^2

, $x+y-6=\pm{3l}$ , $kl=\pm{(x-y)}$ και θέτοντας k=2t+1

θα πρέπει

αλλά με τον περιορισμό θα πρέπει $x+y+3\geq0$ άρα

$3t^2+3t+3\geq0$ που ισχύει άρα οι λύσεις είναι για όλους τους ακέραιους

.

chris · #3

Νομίζω το σχόλιο του Αχιλλέα πάει στη λύση με διακρίνουσα (που έχει γίνει τετριμμένη για αυτές τις ασκήσεις).

achilleas έγραψε:Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους

$x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x+y}{3}+1\right)^3$ .

Προφανώς

και άρα θέτουμε x+y=3a

και η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
$\displaystyle x^2+\left(3a-x \right)x+\left(3a-x \right)^2=\left(a+1 \right)^3 \Leftrightarrow x^2+3ax+9a^2-6ax=\left(a+1 \right)^3\Leftrightarrow x^2-3ax-a^3+6a^2-3a-1=0$

Απαιτούμε η διακρίνουσα να ειναι τελειο τετράγωνο.
$\displaystlye \Delta =9a^2+4a^3-24a^2+12a+4=\left(a-2 \right)^2\left(4a+1 \right)$
Άρα αρκεί $\displaystyle 4a+1=m^2$ και επειδή είναι περιττός τελικά: $4a+1=(2u+1)^2 \Leftrightarrow a=u^2+u$ και $\Delta =\left(u^2+u-2 \right)^2\left(2u+1 \right)^2$

Άρα: $\displaystyle x=\frac{3u^2+3u\pm \left(2u^3+3u^2-3u-2 \right)}{2}$

από όπου $\left(x,y \right)=\left(u^3+3u^2-1,-u^3+3u+1 \right),\left(-u^3+3u+1,u^3+3u^2+1 \right)$

#4

Ευχαριστώ για τις λύσεις!

chris έγραψε:Νομίζω το σχόλιο του Αχιλλέα πάει στη λύση με διακρίνουσα (που έχει γίνει τετριμμένη για αυτές τις ασκήσεις).

....

Πράγματι, έτσι είναι Χρήστο.

Δείτε εδώ για τις λύσεις της επιτροπής διαγωνισμών των Η.Π.Α.

Ίσως είναι ευκαιρία πια για όσους πιστεύουν ότι οι λύσεις αυτές δεν είναι ορθές να αποστείλουν μια επιστολή προς την επιτροπή ή να συγγράψουν ένα άρθρο για ένα περιοδικό της Mathematical Association of America που να επιχειρηματολογεί υπέρ της μη ορθότητας αυτών των λύσεων.

Θα είχε ενδιαφέρον η τύχη ενός τέτοιου άρθρου!

Τέλος πάντων...

Όποιος θέλει να πεισθεί, νομίζω δε χρειάζεται περισσότερα παραδείγματα. Ήδη παρουσιάστηκαν πολλά.

Για κάποιους άλλους όμως ισχύει το "Ου με πείσεις καν με πείσης".

Φοβάμαι ότι δε μπορούμε να κάνουμε περισσότερα. Ας είναι!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Υ.Γ. Ο Γιώργος (gavrilos) κι ο Σιλουανός (smar) με ενημέρωσαν ότι το θέμα έχει ήδη συζητηθεί εδώ.

Διοφαντική Εξίσωση

Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση