Βαλκανική ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{ab+bc+ca=3}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}\leq \frac{3}{8}.}$

chris · #2

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{ab+bc+ca=3}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}\leq \frac{3}{8}.}$

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^2}{4+\left(a+b \right)^2}+\frac{\left(b+c \right)^2}{4+\left(b+c \right)^2}+\frac{\left(c+a \right)^2}{4+\left(c+a \right)^2}\geq \frac{3}{2}$

Από C-S

λαμβάνουμε:
$\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^2}{4+\left(a+b \right)^2}+\frac{\left(b+c \right)^2}{4+\left(b+c \right)^2}+\frac{\left(c+a \right)^2}{4+\left(c+a \right)^2}\geq \frac{4\left(a+b+c \right)^2}{12+\left(a+b \right)^2+\left(b+c \right)^2+\left(c+a \right)^2}=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2 \right)+24}{18+2\left(a^2+b^2+c^2 \right)}=\frac{2x+12}{9+x} , \; \; x=a^2+b^2+c^2$

Αρκεί να δείξουμε ότι:
$\displaystyle \frac{2x+12}{9+x}\geq \frac{3}{2}\Leftarrow x\geq 3=ab+bc+ac$
που είναι προφανές.

Βαλκανική ανισότητα!

Βαλκανική ανισότητα!

Re: Βαλκανική ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση