Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Χρήστος Παπατζίμης · #1

Ποιο από τα παρακάτω ισχύει;

α) $\mathbb{R} \prec \mathbb{R} \times \mathbb{R} \prec \mathcal{P}(\mathbb{R})$

β) $\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R} \prec \mathcal{P}(\mathbb{R})$

γ) $\mathbb{R} \prec \mathbb{R} \times \mathbb{R} \cong \mathcal{P}(\mathbb{R})$

#2

Μόνο το (β) ισχύει. Ισχύει μάλιστα ότι για κάθε άπειρο σύνολο

, τα

και $X \times X$ είναι ισοπληθικά.

Το (γ) δεν ισχύει. Αποδεικνύεται με το γνωστό διαγώνιο επιχείρημα του Cantor. (Αφού πρώτα δείξουμε το (β).)

Χρήστος Παπατζίμης · #3

Ισχύει ότι το $\mathbb{R}$ είναι ισοδύναμο με κάθε δύναμή του;

#4

Ναι. Αποδεικνύεται επαγωγικά αρκεί φυσικά να δείξεις την περίπτωση $\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Για αυτήν την περίπτωση είναι πιο απλό να βρεθεί 1 προς 1 συνάρτηση από το $(0,1) \times (0,1)$ στο (0,1)

. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνουμε στέλνοντας το ζεύγος $(x,y) = (0.x_1x_2\ldots,0.y_1y_2\ldots)$ στο .....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ισχύει επίσης το πιο ισχυρό $\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .

Χρήστος Παπατζίμης · #5

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις και για την αναζήτηση αυτής της 1-1 απεικόνισης.

Χρήστος Παπατζίμης · #6

Eπίσης,τι είναι το $\mathbb{R}$ υψωμένο εις το σύνολο $\mathbb{N}$ ; εκτός κι αν εννοείτε το $\mathbb{R}$ εις την κάθε φυσική δύναμη;

#7

Εννοούμε το καρτεσιανό γινόμενο $\mathbb{N}$ αντιτύπων του $\mathbb{R}$ . Δηλαδή όλα τα $(r_1,r_2,\ldots)$ ώστε $r_i \in \mathbb{R}$ .

Πιο αυστηρά, με A^B

εννοούμε το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το

στο

. Για πεπερασμένα σύνολα ισχύει ότι $|A^B| = |A|^{|B|}$ αφού για κάθε ένα από τα στοιχεία του

έχουμε

επιλογές για το που μπορεί να πάει.

Έτσι το $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ είναι όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ τις οποίες ταυτίζουμε με το πιο πάνω καρτεσιανό γινόμενο που έγραψε στέλνοντας την συνάρτηση

στο $(f(1),f(2),f(3),\ldots)$ .

Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Μέλη σε σύνδεση