Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17529
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 04, 2015 12:44 pm

Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png
Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png (13 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές
Οι κύκλοι (K,R) και O,2R) εφάπτονται εσωτερικά . Από τυχόν σημείο S

του μικρού κύκλου φέρω την SO , η οποία τέμνει το μεγάλο κύκλο στο T .

Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος ST εφάπτεται του μικρού κύκλου .


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 844
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Νοέμ 04, 2015 1:36 pm

GEOMETRIA Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png
GEOMETRIA Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές
Καλημέρα Θανάση,

Φέρω την TP και SP. Η μεσοκάθετος του ST τέμνει την TP στο μέσον της N και η SN είναι διάμεσος του ορθ. τριγώνου SPT οπότε TN=SN=PN.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το N ανήκει στον κύκλο (K)

Αλλα \hat{SNP}=2\hat{T}=\hat{SOP} και βλέπουν το ιδιο τόξο SP και άρα O, N, P, S ανήκουν στον ίδιο κύκλο δηλ. τον (K).

(επειδή OP=OT=R η \hat{STP}=\hat{OPT}=\hat{SOP}/2 και επειδή NS=NT η \hat{STP}=\hat{NST}=\hat{SNP}/2)

Αφού λοιπόν η MN είναι // προς την βάση SP του ισοσκελούς τριγώνου SPN και διέρχεται από την κορυφή N είναι εφαπτομένη του περίκυκλού του σ'αυτήν.

Φιλικά Σάκης


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Κορυφή
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τετ Νοέμ 04, 2015 2:07 pm

Καλησπέρα...
Μεσοκάθετος-εφαπτομένη.png
Μεσοκάθετος-εφαπτομένη.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Αν AB//SO και C,M οι προβολές των A,B στην CT αντίστοιχα τότε SM=CM-CS=2r-x=MT, άρα M μέσον του ST και το ζητούμενο είναι φανερό.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10805
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 05, 2015 7:18 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Οι κύκλοι (K,R) και O,2R) εφάπτονται εσωτερικά . Από τυχόν σημείο S

του μικρού κύκλου φέρω την SO , η οποία τέμνει το μεγάλο κύκλο στο T .

Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος ST εφάπτεται του μικρού κύκλου .
Καλημέρα.
Μεσοκάθετος-εφαπτομένη.png
Μεσοκάθετος-εφαπτομένη.png (21.75 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Έστω A το σημείο επαφής των δύο κύκλων και B\,\,,\,\,C τα σημεία που η μεσοκάθετος στο ST, τέμνει το μεγάλο κύκλο .

Για να δείξουμε ότι η BC εφάπτεται του κύκλου (K,R), αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση του K απ’ αυτή είναι ίση με R. Ας πούμε L το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT.

Επειδή και η ST είναι μεσοκάθετη στην BC το τετράπλευρο BSCT είναι ρόμβος. Η γωνία A\widehat SO = 90^\circ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο και άρα ML//SA και κατά συνέπεια το L είναι μέσο του AT .

Τώρα στο τρίγωνο AOT θα είναι KL// = \dfrac{{OT}}{2} = R , δηλαδή KL \bot BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL = R.

Αυτό που ζητούσαμε .

Φιλικά Νίκος


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Νοέμ 05, 2015 4:43 pm

Καλησπέρα .
Μια απάντηση με Αντιστροφή.

TP=2 TO\Rightarrow TP\cdot TM=2 TO\cdot TM\Rightarrow TB^2=TP\cdot TM= TO\cdot TS
Αντιστρέφουμε το σχήμα με πόλο T και λόγο \lambda ^2=TB^2
ο κύκλος κέντρου O αντιστρέφεται στην ευθεία BC,ενώ ο κύκλος κέντρου K παραμένει αμετάβλητος
και η BC είναι εφαπτόμενή του στο A' (αντίστροφο του A,αφού ο κύκλος (K),εφάπτεται με τον (O) στο A)
22---51595.png
22---51595.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες