Όριο

lowbaper92 · #1

Έστω $\displaystyle{f:\left(0,+ \infty \right)\rightarrow R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f'\left(x \right)=0}$
Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(f\left(x+1 \right)-f\left(x \right) \right)=0}$

Tolaso J Kos · #2

lowbaper92 έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:\left(0,+ \infty \right)\rightarrow R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f'\left(x \right)=0}$
Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(f\left(x+1 \right)-f\left(x \right) \right)=0}$

Εφαρμόζουμε ΘΜΤ-ΔΛ στο [x, x+1]

οπότε υπάρχει ένα $\xi(x)$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{f'\left ( \xi(x) \right )= \frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x} = f(x+1)-f(x)}$ . Παίρνοντας όρια στο άπειρο προκύπτει το αποτέλεσμα αφού $\displaystyle{\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=0}$ .

Λίγο πιο αναλυτικά το τελευταίο βήμα. Eίναι $x< \xi(x) <x+1$ και όταν $x \rightarrow +\infty$ τότε το $\xi(x) \rightarrow +\infty$ οπότε $f'(\xi(x)) \rightarrow 0$ . Το συμπέρασμα έπεται.

Edit: Έβγαλα το hide και συμπλήρωσα μία λεπτομέρεια.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση