Επαναληπτικό Θέμα

Antonis Loutraris · #1

Ένα επαναληπτικό θέμα - παραλλαγή ενός θέματος από το εξαιρετικό βιβλίο του Χρήστου Πατήλα.

Θεωρούμε μία δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$f(x)\ge \ln x$ για κάθε x>0.

$f'(x)x\ln x+f(x)>2\ln x$ για κάθε $x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$
f(1)=0

και

(1) Δείξτε οτι οι γραφικές παραστάσεις της

και της $\ln x$ έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο A(1,0)

την οποία και να προσδιορίσετε.
(2) Δείξτε οτι $\ln x\leq x-1$ για κάθε x>0

και έπειτα υπολογίστε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{e^{f(x)}}{\ln x-x+1}.}$
(3) Δείξτε οτι για την παρακάτω συνάρτηση

ισχύει οτι $g'(x)\ge 0$ για κάθε $x\in(0,+\infty):$
$\displaystyle{g(x)=f(x)\ln x-\ln^{2}x,x>0.}$
(4) Θεωρούμε δύο σημεία $\kappa,\lambda>1$ με $\kappa<\lambda$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{e^{g(\kappa)-g(\lambda)}=\frac{g'(\kappa)}{g'(\lambda)}.}$ Δείξτε οτι υπάρχει $x_{0}\in(\kappa,\lambda)$ με την ιδιότητα $\left(g'(x_{0})\right)^{2}=g''(x_{0}).$
(5) Δείξτε ότι για κάθε $\alpha>0$ υπάρχει $\xi\in(\alpha,\alpha+1)$ ώστε:
$\displaystyle{f(\xi)+1\ge\ln\left(\frac{(\alpha+1)^{\alpha+1}}{\alpha^{\alpha}}\right).}$

lowbaper92 · #2

Antonis Loutraris έγραψε:Ένα επαναληπτικό θέμα - παραλλαγή ενός θέματος από το εξαιρετικό βιβλίο του Χρήστου Πατήλα.

Θεωρούμε μία δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$f(x)\ge \ln x$ για κάθε
$f'(x)x\ln x+f(x)>2\ln x$ για κάθε $x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$
και

(1) Δείξτε οτι οι γραφικές παραστάσεις της και της $\ln x$ έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο την οποία και να προσδιορίσετε.

Η εφαπτομένη των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)}$ και $\displaystyle{lnx}$ στο $\displaystyle{A(1,0)}$ είναι $\displaystyle{y-0=1\left(x-1 \right)\Leftrightarrow y=x-1}$

Antonis Loutraris έγραψε: (2) Δείξτε οτι $\ln x\leq x-1$ για κάθε και έπειτα υπολογίστε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{e^{f(x)}}{\ln x-x+1}.}$

$\displaystyle{\left(lnx \right)''=-\frac{1}{x^{2}}<0}$ άρα η $\displaystyle{lnx}$ είναι κοίλη. Επομένως η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής $\displaystyle{A}$ , άρα $\displaystyle{lnx\leq x-1\; \forall x>0}$

$\displaystyle{lnx-x+1<0}$ κοντά στο $\displaystyle{1}$ άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{f\left(x \right)}}{lnx-x+1}=-\infty}$

Antonis Loutraris έγραψε:(3) Δείξτε οτι για την παρακάτω συνάρτηση ισχύει οτι $g'(x)\ge 0$ για κάθε $x\in(0,+\infty):$
$\displaystyle{g(x)=f(x)\ln x-\ln^{2}x,x>0.}$

$\displaystyle{g'\left(x \right)=f'\left(x \right)lnx+\frac{f\left(x \right)}{x}-\frac{2lnx}{x}=\frac{xf'\left(x \right)lnx+f\left(x \right)-2lnx}{x}\geq 0\; \forall x>0}$ λόγω εκφώνησης, με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{x=1}$

Antonis Loutraris έγραψε:(4) Θεωρούμε δύο σημεία $\kappa,\lambda>1$ με $\kappa<\lambda$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{e^{g(\kappa)-g(\lambda)}=\frac{g'(\kappa)}{g'(\lambda)}.}$ Δείξτε οτι υπάρχει $x_{0}\in(\kappa,\lambda)$ με την ιδιότητα $\left(g'(x_{0})\right)^{2}=g''(x_{0}).$

$\displaystyle{e^{g\left(\kappa \right)-g\left(\lambda \right)}=\frac{g'\left(\kappa \right)}{g'\left(\lambda \right)}\Leftrightarrow g'\left(\kappa \right)e^{-g\left(\kappa \right)}=g'\left(\lambda \right)e^{-g\left(\lambda \right)}}$

Θεωρώ $\displaystyle{h\left(x \right)=g'\left(x \right)e^{-g\left(x \right)},\; x>1}$
$\displaystyle{h'\left(x \right)=g''\left(x \right)e^{-g\left(x \right)}-\left(g'\left(x \right) \right)^{2}e^{-g\left(x \right)}=e^{-g\left(x \right)}\left(g''\left(x \right)-\left(g'\left(x \right) \right)^{2} \right)}$
Από θεώρημα Rolle στο $\displaystyle{\left[\kappa ,\lambda \right]}$ προκύπτει το ζητούμενο

Antonis Loutraris έγραψε:(5) Δείξτε ότι για κάθε $\alpha>0$ υπάρχει $\xi\in(\alpha,\alpha+1)$ ώστε:
$\displaystyle{f(\xi)+1\ge\ln\left(\frac{(\alpha+1)^{\alpha+1}}{\alpha^{\alpha}}\right).}$

Θέλουμε να δείξουμε ότι
$\displaystyle{f\left(\xi \right)+1\geq ln\left(\frac{\left(\alpha +1 \right)^{\alpha +1}}{\alpha ^{\alpha }} \right)=\left(\alpha +1 \right)ln\left(\alpha +1 \right)-\alpha ln\alpha }$
Θεωρώ $\displaystyle{w\left(x \right)=xlnx,\; x>0}$ με $\displaystyle{w'\left(x \right)=lnx+1}$

Από Θεώρημα Μέσης Τιμής για την $\displaystyle{w(x)}$ στο $\displaystyle{\left[\alpha ,\alpha +1 \right]}$ προκύπτει ότι
$\displaystyle{\exists \xi \in \left(\alpha ,\alpha +1 \right):w'\left(\xi \right)=\left(\alpha +1 \right)ln\left(\alpha +1 \right)-\alpha ln\alpha \Leftrightarrow$
$\displaystyle{\Leftrightarrow ln\xi +1=\left(\alpha +1 \right)ln\left(\alpha +1 \right)-\alpha ln\alpha}} \; \; \left(1 \right)$

Από εκφώνηση, $\displaystyle{\forall x>0}$ ισχύει $\displaystyle{f\left(x \right)\geq lnx\Rightarrow f\left(\xi \right)+1\geq ln\xi +1 \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left(1 \right)}f\left(\xi \right)+1\geq\left(\alpha +1 \right)ln\left(\alpha +1 \right)-\alpha ln\alpha}$
που είναι το ζητούμενο

Επαναληπτικό Θέμα

Επαναληπτικό Θέμα

Re: Επαναληπτικό Θέμα

Μέλη σε σύνδεση