Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (1)

Tolaso J Kos · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n}{n} \cos \left( \frac{n \pi}{3} \right)= -\frac{\pi^2}{36}}$

galactus · #2

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}x^{n-1}=\frac{-\log(1-x)}{x(1-x)}}$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}x^{n}=\frac{1}{2}\log^{2}(1-x)+Li_{2}(x)}$

$\displaystyle{\Re Li_{2}(e^{ix})=\frac{x^{2}}{4}-\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi^{2}}{6}, \;\ x\to \frac{\pi}{3}}$

$\Rightarrow \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}\cos(\frac{\pi n}{3})=\Re \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}\left(e^{\pi i/3}\right)^{n}=\frac{1}{2}\log^{2}(1-e^{\pi i/3})+\Re Li_{2}(e^{\pi i/3})}$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}\cos(\frac{\pi n}{3})=1/2\log^{2}(1-e^{\pi i/3})+\frac{(\frac{\pi}{3})^{2}}{4}-\frac{\pi (\frac{\pi}{3})}{2}+\frac{\pi^{2}}{6}}$

$\displaystyle{=\frac{-\pi^{2}}{18}+\frac{\pi^{2}}{36}=\boxed{\frac{-\pi^{2}}{36}}}$

Tolaso J Kos · #3

Να συμπληρώσω με λέξεις τη παραπάνω λύση. (αν και στην ουσία είναι έτοιμοι τύποι τους οποίους έχουμε δει και υπάρχουν σε πολλά βιβλία σειρών Fourier)

Ξεκινάμε με τη γνωστή γεννήτρια:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \mathcal{H}_n x^n = - \frac{\log (1-x)}{1-x} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \mathcal{H}_n x^{n-1} = - \frac{\log(1-x)}{x (1-x)} \;\; \quad (1)}$

Ολοκληρώνοντας την (1)

έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n }{n}x^n = \frac{1}{2} \log^2 (1-x) + {\rm Li}_2(x)}$

όπου ${\rm Li}_2(x)$ είναι η διλογαριθμική συνάρτηση. Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι:

$\displaystyle{\mathfrak{Re}\left ( {\rm Li}_2 \left ( e^{ix} \right ) \right )= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2} = \frac{x^2}{4}- \frac{\pi x}{2}+ \frac{\pi^2}{6} \quad (2)}$

Η (2)

προκύπτει εύκολα αν ολοκληρώσουμε τη (γνωστή) σειρά Fourier $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi-x}{2}}$ . Θέτουμε στη (2)

όπου

το $\pi/3$ οπότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathcal{H}_n}{n}\cos \left ( \frac{n \pi}{3} \right ) &= \mathfrak{Re}\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathcal{H}_n}{n} \left ( e^{i\pi/3} \right )^n \right ) \\ &= \frac{1}{2} \log^2 \left ( 1-e^{i\pi/3} \right )+ \mathfrak{Re}\left ( {\rm Li}_2 \left ( e^{i\pi/3} \right ) \right )\\ &= \frac{1}{2} \log^2 \left ( 1-e^{i\pi/3} \right )+ \frac{\left ( \frac{\pi}{3} \right )^2}{4} - \pi \frac{\frac{\pi}{3}}{2} + \frac{\pi^2}{6}\\ &= - \frac{\pi^2}{18}+ \frac{\pi^2}{36} \\ &= - \frac{\pi^2}{36} \end{aligned}}$

Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (1)

Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (1)

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (1)

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (1)

Μέλη σε σύνδεση