Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

KARKAR · #1

: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 1503 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διάμεσο

προς την υποτείνουσα

.

Σημείο

κινείται επί της πλευράς

και η

τέμνει την

στο σημείο

.

α) Για ποια θέση του

πετυχαίνουμε να είναι SC=2TM

?

β) Σ' αυτή την περίπτωση εξηγήστε την ισότητα των γωνιών $\theta , \omega$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε:Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διάμεσο προς την υποτείνουσα .

Σημείο κινείται επί της πλευράς και η τέμνει την στο σημείο .

α) Για ποια θέση του πετυχαίνουμε να είναι ?

β) Σ' αυτή την περίπτωση εξηγήστε την ισότητα των γωνιών $\theta , \omega$ .

Καλησπέρα και χρόνια πολλά.

: Διπλάσιο-τμήμα,-ίσες-γωνίες.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 1453 φορές

Αν φέρω τη μεσοκάθετο

του $\triangleleft MAB$ και θέσω $N \equiv MK \cap SB$ , τότε $MN = \dfrac{{SC}}{2} = x = MT$ .

Από την προφανή ομοιότητα των $\triangleleft MNT,\, \triangleleft AST$ προκύπτει ότι $AS = AT \Leftrightarrow b - 2x = \dfrac{a}{2} - x \Leftrightarrow x = b - \dfrac{a}{2}$ και οι γωνίες $\theta ,\omega$ θα είναι ίσες σαν παραπληρωματικές ίσων γωνιών.

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διάμεσο προς την υποτείνουσα .

Σημείο κινείται επί της πλευράς και η τέμνει την στο σημείο .

α) Για ποια θέση του πετυχαίνουμε να είναι ?

β) Σ' αυτή την περίπτωση εξηγήστε την ισότητα των γωνιών $\theta , \omega$ .

Καλησπέρα στους φίλους και Χρόνια Πολλά!

Με τα ερωτήματα ανάποδα.

: Διπλάσιο τμήμα, ίσες γωνίες..png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 1442 φορές

β) Αν

μέσο του

, τότε

και

, οπότε το TSNM

είναι ισοσκελές τραπέζιο και $\boxed{\theta=\omega}$

α) Από το προηγούμενο είναι: $\displaystyle{AT = AS \Leftrightarrow \frac{a}{2} - MT = b - 2MT \Leftrightarrow MT = b - \frac{a}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AS=a-b}$

thanasis.a · #5

KARKAR έγραψε:
Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διάμεσο προς την υποτείνουσα .

Σημείο κινείται επί της πλευράς και η τέμνει την στο σημείο .

α) Για ποια θέση του πετυχαίνουμε να είναι ?

β) Σ' αυτή την περίπτωση εξηγήστε την ισότητα των γωνιών $\theta , \omega$ .

..καλησπέρα.. και χρόνια πολλά!!!

ερώτημα 1.
στο αρχικό σχήμα έχουμε: SC=x,TM=x,AS=b-2x

. Εφαρμόζουμε το θ. Μενελάου με διατέμνουσα την B,T,S

στο $\displaystyle\bigtriangleup ACM:\frac{BC}{MB}\cdot \frac{TM}{TA}\cdot \frac{SA}{SC}\Rightarrow ....\Rightarrow \boxed{SA=AT}\,\,\,\,(1)$ . Κατά συνέπεια SA=TA=b-2x

οπότε αφού: AM=a/2

έχουμε: $AT=AM-MT\displaystyle\Rightarrow b-2x=a/2-x\Rightarrow \boxed{x=\frac{2b-a}{2}}$

ερώτημα 2.
Άμεση συνέπεια από την σχέση (1) ώς παραπληρωματικές γωνίες ίσων γωνιών.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διάμεσο προς την υποτείνουσα .

Σημείο κινείται επί της πλευράς και η τέμνει την στο σημείο .

α) Για ποια θέση του πετυχαίνουμε να είναι ?

β) Σ' αυτή την περίπτωση εξηγήστε την ισότητα των γωνιών $\theta , \omega$ .

Καλησπέρα...

Με $\displaystyle{T'}$ συμμετρικό του $\displaystyle{T}$ ως προς $\displaystyle{M}$ ,το $\displaystyle{CTBT'}$ είναι παραλ/μμο ,άρα $\displaystyle{CT'//ST}$ κι επειδή $\displaystyle{CS = TT' \Rightarrow SCT'T}$ ισοσκελές τραπέζιο κι έτσι $\displaystyle{SA = AT = x}$

Σχηματίζοντας το ορθογώνιο $\displaystyle{ABDC}$ ,είναι $\displaystyle{MT' + T'D = \frac{\alpha }{2} = MT + x \Rightarrow T'D = x}$ και $\displaystyle{AT' + x = \alpha \Rightarrow b + x = a \Rightarrow \boxed{x = a - b}}$

Ακόμη , $\displaystyle{\boxed{\angle \omega = \angle \theta }}$ ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου

: dt.ig.png (11.46 KiB) Προβλήθηκε 1366 φορές

KARKAR · #7

Doloros έγραψε: Επί της ουσίας πρόκειται για παραλλαγή του πρώτου και δευτέρου ερωτήματος της άσκησης αυτής

Νίκο , είναι φανερό ότι "μητέρα" της άσκησης που πρότεινα εδώ , είναι η άσκησή σου

στην οποία παραπέμπεις . Νομίζω πάντως ότι ετούτη είναι αρκούντως "απογαλακτισμένη"

.

: Σχόλια.png (8.51 KiB) Προβλήθηκε 1350 φορές

Ας τη παρουσιάσουμε αλλιώς : Βρείτε σημείο

της πλευράς

, ώστε :

.

Για ποιες τιμές της γωνίας $\hat{B}$ το πρόβλημα έχει λύση ; ( Δυσκολότερο τώρα ? )

#8

KARKAR έγραψε:
Doloros έγραψε: Επί της ουσίας πρόκειται για παραλλαγή του πρώτου και δευτέρου ερωτήματος της άσκησης αυτής
Νίκο , είναι φανερό ότι "μητέρα" της άσκησης που πρότεινα εδώ , είναι η άσκησή σου

στην οποία παραπέμπεις . Νομίζω πάντως ότι ετούτη είναι αρκούντως "απογαλακτισμένη" .

Το συνημμένο Σχόλια.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ας τη παρουσιάσουμε αλλιώς : Βρείτε σημείο της πλευράς , ώστε : .

Για ποιες τιμές της γωνίας $\hat{B}$ το πρόβλημα έχει λύση ; ( Δυσκολότερο τώρα ? )

: Διπλάσιο τμήμα ίσες γωνίες.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 1329 φορές

Η κάθετη από το

στη διχοτόμο της $\widehat {CAM}$ μας δίδει τις θέσεις των $S\,\,,\,\,T$ και πρέπει $\widehat B > 30^\circ$ .

Ν.

kostas232 · #9

Καλησπέρα σε όλους!
Μία ακόμα λύση για το α):

: diplasio2.png (34.45 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

Φέρουμε $MK\perp AB$ . Τότε CS=2MN

.
Αρκεί λοιπόν να είναι MN=TN

.

Φέρουμε $DT\parallel AC$ . Τότε από τα όμοια τρίγωνα AMC

και

έχουμε
$\displaystyle{\frac{DT}{b}=\frac{2TM}{a}\Leftrightarrow DT=\frac{2bTM}{a}}$ .
Επίσης, έχουμε
$\displaystyle{\frac{DT}{MN}=\frac{DB}{a/2}\Leftrightarrow DT=\frac{MN\cdot(DM+MB)}{a/2}\Leftrightarrow DT=\frac{MN\cdot(2MT+2\cdot \frac{a}{2})}{a}\Leftrightarrow DT=\frac{MN\cdot (2MT+a)}{a}$ , καθώς είναι DM=TM

.
Οπότε
$\displaystyle{2bTM=2TM\cdot MN+aMN}$ .
Αρκεί να είναι $TM=MN=\frac{b-x}{2}$ , οπότε η παραπάνω γράφεται
$\displaystye{x^2-ax+ab-b^2=0}$ , που έχει τις ρίζες x=b, x=a-b

, οπότε αν θέλουμε το

να μην ταυτίζεται με το

, έχουμε

, οπότε το

προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου C(A,a-b)

με την πλευρά

.

Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση