Πυκνό σύνολο.

#1

Μια άσκηση δικής μου κατασκευής. Η ιδέα προήλθε από ...

Έστω $\displaystyle{P=\left\{ 2,3,5, ... ,a_{1}a_{2}..a_{k}, ...\right\}}$ το σύνολο των πρώτων αριθμών, όπου $\displaystyle{p_{k}=a_{1}a_{2}..a_{k}}$ είναι ο k-οστός πρώτος, γραμμένος στην δεκαδική του μορφή.

Από το σύνολο $\displaystyle{P}$ κατασκευάζουμε το σύνολο $\displaystyle{B=\left\{ 0.2,0.3,0.5, ... ,0.a_{1}a_{2}..a_{k}, ...\right\}}$ δηλαδή στον κάθε πρώτο, στήν δεκαδική του μορφή, βάζουμε "μηδέν-κόμμα" μπροστά.

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο $\displaystyle{B}$ είναι πυκνό στο διάστημα $\displaystyle{\left[0.1,1 \right]}$

#2

Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιουσδήποτε $\alpha, \beta\in[0.1,1]$ , με $\alpha<\beta$ , υπάρχει στοιχείο $b\in B$ , τέτοιο ώστε
$\alpha<b<\beta.$

Η ύπαρξη του $b\in B$ με την παραπάνω ιδιότητα, έπεται από την άσκηση που έχουμε συζητήσει εδώ.

Πολύ όμορφη άσκηση...

Νίκος Κατσίπης

#3

Μπράβο Νικόλα, μπράβο .. ακριβώς από εκεί μου ήρθε η ιδέα.

Πυκνό σύνολο.

Πυκνό σύνολο.

Re: Πυκνό σύνολο.

Re: Πυκνό σύνολο.

Μέλη σε σύνδεση