Παράσταση

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{ \frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{1}{11}.}$
Να βρεθεί, όσο το δυνατόν συντομότερα, η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} .}$

lowbaper92 · #2

Καλησπέρα! Μία λύση, ίσως όχι η πιο σύντομη:

$\displaystyle{A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} \right)=3-A_{1}\Leftrightarrow A_{1}=3-A}$

Επίσης

$\displaystyle{A=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)=$

$\displaystyle{=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+A_{1}=}$

$\displaystyle{=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+3-A}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2A=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+3}$

Με προσθαφαίρεση του

στο μεσαίο κλάσμα, όπως περιγράφεται απ' τον κ. Στεργίου εδώ, προκύπτει $\displaystyle{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=-\frac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)}=-\frac{1}{11}}$

Άρα $\displaystyle{A=\frac{16}{11}}$

#3

socrates έγραψε:Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{ \frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{1}{11}.}$
Να βρεθεί, όσο το δυνατόν συντομότερα, η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} .}$

Καλημέρα.

Έστω

η ζητούμενη παράσταση.

$\displaystyle{2A = \frac{{a + b + c + a - b - c}}{{a + b}} + \frac{{b + c + b + a - a - c}}{{b + c}} + \frac{{c + a + c + b - b - a}}{{c + a}} = }$

$\displaystyle{1 + \frac{{a - b}}{{a + b}} + 1 + \frac{{b - a}}{{b + c}} + \frac{{a - c}}{{b + c}} + 1 + \frac{{c - a}}{{c + a}} = 3 - \frac{{(a - b)(b - c)(c - a)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2A = 3 - \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{A = \frac{{16}}{{11}}}$

Σημείωση: Γενικά για $\displaystyle{(a + b)(b + c)(c + a) \ne 0}$ ισχύει:

$\displaystyle{\frac{{2a}}{{a + b}} + \frac{{2b}}{{b + c}} + \frac{{2c}}{{c + a}} + \frac{{(a - b)(b - c)(c - a)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} = 3}$

Παράσταση

Παράσταση

Re: Παράσταση

Re: Παράσταση

Μέλη σε σύνδεση