Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

#1

Ας βρεθεί το ανάγωγο πολυώνυμο του $\cos\frac{\pi}{7}$ καθώς και οι υπόλοιπες ρίζες του.

#2

Το 7ο πολυώνυμο Chebyshev είναι το T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x

για το οποίο ισχύει $T_7(\cos{a})=\cos{7a}$

οπότε το $\cos\frac{\pi}{7}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου T_7(x)+1=64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x+1=(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)^2

Άρα το $\cos\frac{\pi}{7}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x)=8x^3-4x^2-4x+1

το οποίο είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι είναι ανάγωγο με το χέρι (Αν αναλυόταν σε δύο παράγοντες πρώτου και δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές θα καταλήγαμε σε άτοπο). Ένας δεύτερος τρόπος να αποδείξουμε ότι είναι ανάγωγο είναι να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση: "Το είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}[x]$ αν και μόνο αν το με $a\in\mathbb{Z}$ είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}[x]$ ". Άρα επειδή το P(x+1)=8x^3-28x^2+28x-7

είναι ανάγωγο από το κριτήριο Eisenstein, άρα και το P(x)

είναι ανάγωγο.

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε:Το 7ο πολυώνυμο Chebyshev είναι το για το οποίο ισχύει $T_7(\cos{a})=\cos{7a}$

οπότε το $\cos\frac{\pi}{7}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου

Άρα το $\cos\frac{\pi}{7}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου το οποίο είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι είναι ανάγωγο με το χέρι (Αν αναλυόταν σε δύο παράγοντες πρώτου και δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές θα καταλήγαμε σε άτοπο). Ένας δεύτερος τρόπος να αποδείξουμε ότι είναι ανάγωγο είναι να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση: "Το είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}[x]$ αν και μόνο αν το με $a\in\mathbb{Z}$ είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}[x]$ ". Άρα επειδή το είναι ανάγωγο από το κριτήριο Eisenstein, άρα και το είναι ανάγωγο.

Αλέξανδρος

Εεεεπ! έκλεψες!!!

Προσδοκώ μια απόδειξη που να κατασκευάζει το πολυώνυμο του οποίου είναι ρίζα ο τριγωνομετρικός αριθμός..

(και να βρεθούν και οι υπόλοιπες ρίζες)

#4

Aπό De Moivre, όπως και στο άλλο θέμα, προκύπτει ότι το ανάγωγο πολυώνυμο του

$cos(\frac{2\pi}{7})$ είναι το P(x)=8x^3+4x^2-4x-1.

Το παραπάνω όμως πολυώνυμο έχει ρίζες και τα $cos(\frac{4\pi}{7})$ και $cos(\frac{6\pi}{7})=-cos(\frac{\pi}{7}).$

Άρα, το ανάγωγο πολυώνυμο του $cos(\frac{\pi}{7})$ είναι το p(x)=8x^3-4x^2-4x+1.

(και οι υπόλοιπες ρίζες θα είναι τα $cos(\frac{3\pi}{7})$ και $\cos(\frac{5\pi}{7})$ )

Νίκος Κατσίπης

#5

nkatsipis έγραψε:Aπό De Moivre, όπως και στο άλλο θέμα, προκύπτει ότι το ανάγωγο πολυώνυμο του

$cos(\frac{2\pi}{7})$ είναι το

Το παραπάνω όμως πολυώνυμο έχει ρίζες και τα $cos(\frac{4\pi}{7})$ και $cos(\frac{6\pi}{7})=-cos(\frac{\pi}{7}).$

Άρα, το ανάγωγο πολυώνυμο του $cos(\frac{\pi}{7})$ είναι το

(και οι υπόλοιπες ρίζες θα είναι τα $cos(\frac{3\pi}{7})$ και $\cos(\frac{5\pi}{7})$ )

Νίκος Κατσίπης

Ωραία Νίκο! το κολπάκι ήταν να παρατηρήσει κανείς ότι $\cos\frac{6\pi}{7}=-\cos\frac{\pi}{7}$ , $\cos\frac{4\pi}{7}=-\cos\frac{3\pi}{7}$ και $\cos\frac{2\pi}{7}=-\cos\frac{5\pi}{7}$ , όπως είπες, οπότε το ζητούμενο πολυώνυμο προκύπτει από το πολυώνυμο του $\cos\frac{2\pi}{7}$ , το οποίο είναι και ανάγωγο για τον λόγο που είπε ο Αρ'έκος!!

#6

Εφαρμογούλα :

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle\sec\frac{\pi}{7}\sec\frac{3\pi}{7}+\sec\frac{3\pi}{7}\sec\frac{5\pi}{7}+\sec\frac{5\pi}{7}\sec\frac{\pi}{7}$ .

#7

Αν πούμε $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ τις ρίζες του πολυωνύμου p(x)=8x^3-4x^2-4x+1.

, που συζητήθηκε παραπάνω, τότε το

$\displaystyle\sec\frac{\pi}{7}\sec\frac{3\pi}{7}+\sec\frac{3\pi}{7}\sec\frac{5\pi}{7}+\sec\frac{5\pi}{7}\sec\frac{\pi}{7}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}=-4,$ από τους τύπους του Vieta.

Νίκος Κατσίπης

#8

nkatsipis έγραψε:Aπό De Moivre, όπως και στο άλλο θέμα, προκύπτει ότι το ανάγωγο πολυώνυμο του

$cos(\frac{2\pi}{7})$ είναι το

Να προσθέσω εδώ, δίνοντας ίσως τροφή για μελέτη σε όποιον δεν το έχει ήδη υπόψιν, ότι :

Αν p>2

πρώτος, τότε

το ελάχιστο πολυώνυμο του $\displaystyle\sin\big(\frac{2\pi}{p}\big)$ είναι το

$\displaystyle S_{p}(x):=\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{k}\binom{p}{2k+1}(1-x^{2})^{\frac{p-1}{2}-k}x^{2k}$ , βαθμού p-1

, ενώ

το ελάχιστο πολυώνυμο του $\displaystyle\cos\big(\frac{2\pi}{p}\big)$ είναι το

$\displaystyle C_{p}(x):=S_{p}\Big(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\Big)$ , βαθμού $\displaystyle\frac{p-1}{2}$ .

Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (2)

Μέλη σε σύνδεση