Πλάγια ασύμπτωτη ??

Π.Πολυχρονόπουλος · #1

Γεια σας,είμαι νέο μέλος και βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσα την προσπάθεία σας.
Με προβλημάτισε τώρα τελευταία ένα θέμα μετην πλάγια ασύμπτωτη.
Υπάρχει απόδειξη ότι αν η f είναι κυρτή τότε η f είναι πάνω από την ασύμπτωτη??
Παρακαλώ αν ξέρει κανείς κάτι να βοηθούσε.
Συναδελφικά
Π. Πολυχρονόπουλος

#2

Π.Πολυχρονόπουλος έγραψε:Γεια σας,είμαι νέο μέλος και βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσα την προσπάθεία σας.
Με προβλημάτισε τώρα τελευταία ένα θέμα μετην πλάγια ασύμπτωτη.
Υπάρχει απόδειξη ότι αν η f είναι κυρτή τότε η f είναι πάνω από την εφαπτομένη -
Παρακαλώ αν ξέρει κανείς κάτι να βοηθούσε.
Συναδελφικά
Π. Πολυχρονόπουλος

Καλημέρα και καλωσήρθες στη λέσχη !

Βέβαια υπάρχει απόδειξη. Επειδή χτυπάει κουδούνι για μέσα, δίνω μόνο την υπόδειξη και θα σου πουν οι συνάδeλφοι τις λεπτομέρειες , αν χρειαστεί.

$f(x) - y = f(x) - f^{\prime}(x_0)(x-x_0) - f(x_0) = [f(x)-f(x_0)] -f^{\prime}(x_0)(x-x_0) = .....$

Πάρε ΘΜΤ στη διαφορά και κάνε χρηση της μονοτονίας της παραγώγου, οπότε η διαφορά που ξεκίνησα είναι μεγαλύτερη ή ίση από το 0 με ισότητα μόνο στο σημείο επαφής.
Να τονίσω ότι $y =f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ είναι η ευθεία της εφαπτομένης στο x_0

.

ΔΙΟΡΘΩΣΗ

Η απόδειξη που έδωσα βιαστικά αφορά την εφαπτομένη !!!!!!!!!!.Μόλις τώρα είδα ότι ζητούσες την ... ασύμπτωτη ! Ήταν ακόμα και 8 η ώρα το πρωί , άντε να χτυπήσει το κουδούνι , έγινε το λάθος !
Δεν σβήνω όμως το μήνυμα, διότι κάποιος μπορεί να θέλει να δει και αυτή την απόδειξη.
Νάσαι καλά - Μπάμπης

#3

Κάπως πιο αναλυτικά:
Ας δούμε πρώτα την απλή περίπτωση όπου η y=0

είναι η ασύμπτωτος στο $+\infty$ . Αν υποτεθεί ότι η $\mathcal{C}_f$ είναι κάτω από την y=0

τότε δε μπορεί να υπάρχει x_0

ώστε $f^{\prime }\left( x_{0}\right) >0$ . Διότι τότε αφού η γραφική παράσταση της

είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη της θα έχουμε $f\left( x\right) \geq f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$ από την οποία προκύπτει ότι στο $+\infty$ η

θα έχει όριο $+\infty$ και όχι 0.
Επομένως η παράγωγος της

θα είναι $\leq 0$ . Άρα η

είναι φθίνουσα. Αφού για κάποιο

είναι $f\left( t\right) <0$ το όριο της

στο άπειρο θα είναι μικρότερο ή ίσο του $f\left( t\right) <0$ . (άτοπο).
Την περίπτωση όπου η ασύμπτωτος είναι η y=ax+b

μπορούμε να εργασθούμε με την g(x)=f(x)-(ax+b)

που επίσης είναι κυρτή και έχει ασύμπτωτο την y=0

.
Ουφ! Γράφω από το σχολείο όπου όλα είναι δύσκολα.
Καλό μεσημέρι.
Μαυρογιάννης

k-ser · #4

Νίκο,
στην πολύ καλή απόδειξη που έγραψες - λίγο βιαστικά, να προσθέσω:
Η παράγωγος της f δεν μπορεί να μηδενιστεί σε περισσότερα από 1 σημεία
άρα
η f είναι γνήσια φθίνουσα και συνεπώς
δεν μπορεί να υπάρξει χ για το οποίο f(χ) < ή = του 0.
Έτσι,
αν η ασύμπτωτη της f είναι η ψ=0 και η f είναι κυρτή
τότε
f(x)>0 για κάθε x.

#5

Κώστα καλή η παρατήρηση σου. Με αυτήν γλυτώνουμε ένα επιχείρημα και έχουμε πολύ πιό σύντομη απόδειξη.
Νίκος

k-ser · #6

Νίκο,
βάζω με συνημμένο μια πλήρη(;) απόδειξη.

Asymptoti se kyrti synartisi.pdf: Ασύμπτωτη σε κυρτή συνάρτηση.; (193.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 518 φορές

Π.Πολυχρονόπουλος · #7

Καλημέρα, και καλή βδομάδα
ευχαριστώ για την άμεση βοήθεια και μπράβο για τις λύσεις σας.
Συναδελφικά
Παντελής Πολυχρονόπουλος

Πλάγια ασύμπτωτη ??

Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Re: Πλάγια ασύμπτωτη ??

Μέλη σε σύνδεση