Ιδεώδη

so90 · #1

Καλησπέρα. Πως περιγράφουμε ένα ιδεώδες που παράγεται από τρία πολυώνυμα ίδιας μεταβλητής;

BAGGP93 · #2

Γενικά, γνωρίζεις ότι αν $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ είναι ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα, τότε για τυχόν $\displaystyle{X\subseteq R}$ ,

συμβολίζουμε με $\displaystyle{\langle{X\rangle}}$ το μικρότερο ιδεώδες του $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ που περιέχει το $\displaystyle{X}$

και το ονομάζουμε ως το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το $\displaystyle{X}$ .

Είναι, $\displaystyle{\langle{\varnothing\rangle}=\left\{0\right\}}$ .

Συγκεκριμμένα, αν $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)=\left(\mathbb{K}[x],+,\cdot\right)}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{K}}$ : σώμα

και $\displaystyle{X=\left\{f_1(x)\,,f_2(x)\,,f_3(x)\right\}\subseteq \mathbb{K}[x]}$ , τότε απέδειξε ότι

$\displaystyle{\langle{X\rangle}=\langle{f_1(x)\,,f_2(x)\,,f_3(x)\rangle}=\left\{\sum_{i=1}^{3}h_{i}(x)\,f_{i}(x)\in\mathbb{K}[x]: h_{i}(x)\in\mathbb{K}[x]\,,1\leq i\leq 3\right\}=I}$

κάνοντας 2 βήματα :

1. Δείξε ότι το $\displaystyle{I}$ είναι ιδεώδες που περιέχει το $\displaystyle{X}$ .

2. Οποιοδήποτε ιδεώδες $\displaystyle{J}$ του $\displaystyle{\mathbb{K}[x]}$ που περιέχει το $\displaystyle{X}$ , δηλαδή

περιέχει τα $\displaystyle{f_{i}(x)\,,1\leq i\leq 3}$ , περιέχει ολόκληρο το $\displaystyle{I}$

Ιδεώδη

Ιδεώδη

Re: Ιδεώδη

Μέλη σε σύνδεση