Μονοτονία και εμβαδόν!

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις

$\displaystyle{f,g:(0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=e^x\ln x+\sin x,~~g(x)=e^x\ln x+\sqrt{x}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι αμφότερες είναι γνησίως αύξουσες

$\displaystyle{\bullet}$ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις $\displaystyle{C_f, C_g}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=1, x=2.}$

Σταμ. Γλάρος · #2

matha έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις

$\displaystyle{f,g:(0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=e^x\ln x+\sin x,~~g(x)=e^x\ln x+\sqrt{x}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι αμφότερες είναι γνησίως αύξουσες

$\displaystyle{\bullet}$ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις $\displaystyle{C_f, C_g}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=1, x=2.}$

Καλησπέρα και Χριστός Ανέστη!
Μια προσπάθεια στην μονοτονία της πρώτης συνάρτησης στο πρώτο υποερώτημα...

Η

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'(x)=e^x (\ln x+ \frac{1}{x}) +\cos x .}$

Θεωρώ την συνάρτηση $h(x) = \ln x+ \frac{1}{x}$ , επίσης παραγωγίσιμη με $h'(x) = \dfrac{x-1}{x^2}$ .
i) Για 0<x<1

έχουμε

, άρα

γνησίως φθίνουσα συνεπώς για 0<x<1

$\Rightarrow$ h(x)>h(1) = 1

.
Επίσης για 0<x<1

το τόξο

ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο αφού τόξο ίσο με

είναι κοντά στο τόξο $\frac{\pi }{3}$ .
Εδώ η δικαιολόγηση είναι ότι το τόξο μετριέται σε rad (ακτίνια) άρα τόξο ίσο με

σημαίνει τόξο, το οποίο έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου.Επομένως $\cos x >0$ , άρα και
f'(x)> 0

για κάθε

.

ii) Για x>1

έχουμε

, άρα

γνησίως αύξουσα συνεπώς για x>1

$\Rightarrow$ h(x)>h(1) = 1

.
Τώρα δεν ... μας νοιάζει για το συνημίτονο επειδή είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

. Το ίσον δεν ενοχλεί... Συνεπώς
f'(x)> 0

για κάθε

.

Θα πρέπει επίσης να προσθέσουμε ότι η

είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$ άρα και γνησίως αύξουσα .

Να προσθέσω εδώ ότι πολύ καλή παρουσίαση του γιατί προτιμούμε τα ακτίνια και όχι τις μοίρες, υπάρχει στις σελίδες 256, 257 του γνωστού βιβλίου του Michael Spivak, "Διαφορικός και ολοκληρωτικός Λογισμός ", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2007.
Να τονίσω εδώ ότι την επιμέλεια της Έκδοσης είχε και ο κ. Μιχάλης Λάμπρου. Πρέπει να μνημονεύουμε αυτούς που κοπίασαν για να έχουμε εμείς ένα τέτοιο έργο...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Θα επανέλθω και για τα υπόλοιπα ερωτήματα... εάν δεν προλάβει κάποιος άλλος !

hsiodos · #3

matha έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις

$\displaystyle{f,g:(0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=e^x\ln x+\sin x,~~g(x)=e^x\ln x+\sqrt{x}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι αμφότερες είναι γνησίως αύξουσες

$\displaystyle{\bullet}$ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις $\displaystyle{C_f, C_g}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=1, x=2.}$

α) H $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο $\displaystyle{\left( {0\,,\, + \infty } \right)}$ με $\displaystyle{{f{'}}(x) = {e^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right) + \cos x}$ .

Για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ από γνωστή εφαρμογή έχουμε:

$\displaystyle{\ln \left( {\frac{1}{x}} \right) \le \frac{1}{x} - 1 \Rightarrow \ln x \ge 1 - \frac{1}{x} \Rightarrow \ln x + \frac{1}{x} \ge 1}$ και $\displaystyle{{e^x} > 1\,\,}$ οπότε $\displaystyle{{e^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right) > 1 \Rightarrow {e^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right) + \cos x > 1 + \cos x \ge 0 \Rightarrow {f{'}}(x) > 0}$

Επίσης η $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο $\displaystyle{\left( {0\,,\, + \infty } \right)}$ με $\displaystyle{{g{'}}(x) = {e^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right) + \frac{1}{{2\sqrt x }} > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ .

Συμεπώς οι $\displaystyle{f,g}$ είναι γνησίως αύξουσες.

β) Ισχύει $\displaystyle{\left| {\,\sin x\,} \right| \le \left| {\,x\,} \right|\,\,\,\,(1)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ (η ισότητα ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ )

$\displaystyle{\forall x \in \left[ {1\,\,,\,\,2} \right] \subseteq \left( {0\,,\,\pi } \right)}$ έχουμε:

$\displaystyle{0 < \sin x \le 1 \Rightarrow \sqrt {\sin x} \ge \sin x\,\,\,(2)}$

$\displaystyle{(1) \Rightarrow x > \sin x \Rightarrow \sqrt x > \sqrt {\sin x} \mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \sqrt x > \sin x \Rightarrow \sqrt x - \sin x > 0 \Rightarrow g(x) - f(x) > 0}$

Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E = \int_1^2 {\left( {g(x) - f(x)} \right)} dx = \left[ {\sqrt x - \sin x} \right]_1^2\, = \left[ {\frac{2}{3}x\sqrt x + \cos x} \right]_1^2 = \frac{{4\sqrt 2 - 2}}{3} + \cos \left( 2 \right) - \cos \left( 1 \right)\,\,\,\,\tau .\mu }$

Μονοτονία και εμβαδόν!

Μονοτονία και εμβαδόν!

Re: Μονοτονία και εμβαδόν!

Re: Μονοτονία και εμβαδόν!

Μέλη σε σύνδεση