Ελάχιστη τιμή !

[Ορέστης Λιγνός]

Θεωρούμε τους ώστε . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της

.

(δεν έχω λύση)

(Η άσκηση είναι από το Aops αναπάντητη )

[Nick Math]

Θεωρούμε τους ώστε . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της

.

(δεν έχω λύση)

(Η άσκηση είναι από το Aops αναπάντητη )

Παραθέτω μια προσέγγιση.
Από την . Γίνεται αντιληπτό ότι (γιατί αν , προκύπτει , άτοπο). Επομένως, πρέπει . Επιπλέον, αφού η είναι της μοφής , όπου θετικός ή μηδενικός πραγματικός, η μικρότερη δυνατή τιμή του είναι το . Συνεπώς . Επιπλέον, βλέπουμε ότι αν , προκύπτει άτοπο.Άρα
Παρατηρούμε πως για να πετύχουμε την μικρότερη δυνατή τιμή της , πρέπει να πάρουμε την μέγιστη τιμή των (ώστε τα κλάσματα να έχουν όσο το δυνατόν μεγαλύτερους παρανομαστές . Συνεπώς . Αντικαθιστούμε στην και παίρνουμε . Παίρνουμε όμως την μικρότερη τιμή του . Την για να ελαχιστοποιηθεί η τιμή της . Αντικαθιστούμε και παίρνουμε ότι η μικρότερη τιμή είναι .
EDIT

[Ορέστης Λιγνός]

Καλημέρα !

Νίκο , πώς προκύπτει το άτοπο αν ; Ακόμη , αν αυτό ισχύει , γιατί υποχρεωτικά ; Δεν μπορεί π.χ. ;

Μπορεί να μην βλέπω το προφανές βέβαια γιατί έχω κολλήσει ...

Όπως και να έχει , νομίζω ότι η άσκηση λύνεται με χρήση στοιχειωδών ανισοτήτων ( )

Φιλικά και Μαθηματικά,
Ορέστης

[Nick Math]

Λάθος μου. Εννοώ .

[Ορέστης Λιγνός]

Αν , τότε , από υπόθεση που δίνει . Πού είναι το άτοπο ;

[Nick Math]

Αν , τότε , από υπόθεση που δίνει . Πού είναι το άτοπο ;

Εδώ πήρες μάλλον .

[Ορέστης Λιγνός]

Όχι , όχι , όχι . Επαναλαμβάνω , εσύ απέρριψες την περίπτωση . Πώς το έκανες αυτό ;

[Nick Math]

Όχι , όχι , όχι . Επαναλαμβάνω , εσύ απέρριψες την περίπτωση . Πώς το έκανες αυτό ;

Εγώ αρχικά είδα πως αν ή ή υπήρχε άτοπο. Θα έπρεπε δηλαδή να πω ότι , αντί για , έχεις δίκιο πως είναι λάθος.

[Nick Math]

Όχι , όχι , όχι . Επαναλαμβάνω , εσύ απέρριψες την περίπτωση . Πώς το έκανες αυτό ;

Εγώ αρχικά είδα πως αν ή ή υπήρχε άτοπο. Θα έπρεπε δηλαδή να πω ότι , αντί για , έχεις δίκιο πως είναι λάθος.

Απλά, δοκίμασα με ΑΜ-ΓΜ, και δεν έγινε τίποτα (οδηγήθηκα σε πολλές πράξεις) και δεν γνωρίζω C-S τόσο καλά. Επομένως, αυτό ο τρόπος ήταν ο μόνος που μπορούσα να σκεφτώ.

[Ορέστης Λιγνός]

Ναι , αλλά αν τι θα πεις ; Άρα , δεν ισχύει πάντα αυτό που λες ...

[Ορέστης Λιγνός]

Πάντως , για να μην συνεχιστεί δημόσια αυτός ο διάλογος , αν θες κάτι να μου πεις , καλύτερα να το κάνεις με π.μ.

Ορέστης

[Demetres]

Το μεταφέρω στους seniors μιας και φαίνεται δύσκολη άσκηση. Δεν είναι καν προφανές ποιο πρέπει να είναι το ελάχιστο ή που βρίσκεται το ελάχιστο. [Το ελάχιστο σίγουρα δεν είναι το . Βρίσκω και μικρότερη τιμή.]

Ορέστη, είναι σίγουρα σωστή η άσκηση;

[Με στην θέση του νομίζω ότι όντως το ελάχιστο εμφανίζεται για .]

[Ορέστης Λιγνός]

Όχι κύριε Δημήτρη , έτσι ακριβώς είναι στο Aops .

[Nick Math]

Όσον αφορά την επίλυση της άσκησης. Δουλεύοντας με ΑΜ-ΓΜ, καταλήγουμε κάποια στιγμή σε πάρα πολλές πράξεις ανάμεσα στις οποίες υπάρχει όντως ένα . Δεν δοκίμασα να κάνω αντικατάσταση, ξέρει κανείς αν θα έπρεπε?

[Nick Math]

Ορέστη. Μπορείς να δεις σε πια κατηγορία θεμάτων εντάσσεται? (εννοώ όλα τα προβλήματα εντάσσονται σε κάποιο συγκεκριμένο μάθημα σχετικό με ένα θέμα). Οπότε αν βρεις το θέμα, ίσως βρούμε τον τρόπο σκέψης πίσω από το πρόβλημα. (Αν και εξακολουθώ να νομίζω ότι πρέπει να θέσουμε παραμέτρους χρησιμοποιώντας την δεδομένη ανισότητα και να δούμε το μέγιστο ή το ελάχιστο των τιμών)