Θεωρία αριθμών

[jason.prod]

Καλημέρα
Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν άπειροι ώστε ο αριθμός να είναι σύνθετος για κάθε .

[JimNt.]

Οι κ&n είναι θετικοί ακέραιοι?

[jason.prod]

Οι κ&n είναι θετικοί ακέραιοι?

Ναι, ξέχασα να το διευκρινήσω. Ευχαριστώ για την παρατήρηση.

[cretanman]

Κάθε τέτοιος ονομάζεται "αριθμός Sierpinski". Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης έγινε το 1960 από τον Sierpinski.

Είναι (ακόμη) ανοικτό πρόβλημα για το αν ο αριθμός 78557 είναι (όπως είχαν ισχυριστεί οι Sierpinski και Selfridge το 1967) ο μικρότερος αριθμός Sierpinski.

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε

εδώ για τους αριθμούς Sierpinski
εδώ για το πρόβλημα Sierpinski

Για την (δύσκολη) απόδειξη της απειρίας τέτοιων αριθμών παραπέμπω στο πρόβλημα 118 της εξαιρετικής συλλογής προβλημάτων στοιχειώδους θεωρίας αριθμών του Sierpinski "Problems in Elementary Number Theory" (υπάρχει και στα ελληνικά).

Αλέξανδρος

[silouan]

Το πρόβλημα είχε τεθεί και στην USAMO του 1982.

Μία λύση μπορείτε να δείτε εδώ: http://mks.mff.cuni.cz/kalva/usa/usoln/usol824.html
και άλλη μία εδώ: http://artofproblemsolving.com/communit ... 55p2403712

[jason.prod]

Κάθε τέτοιος ονομάζεται "αριθμός Sierpinski". Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης έγινε το 1960 από τον Sierpinski.

Είναι (ακόμη) ανοικτό πρόβλημα για το αν ο αριθμός 78557 είναι (όπως είχαν ισχυριστεί οι Sierpinski και Selfridge το 1967) ο μικρότερος αριθμός Sierpinski.

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε

εδώ για τους αριθμούς Sierpinski
εδώ για το πρόβλημα Sierpinski

Για την (δύσκολη) απόδειξη της απειρίας τέτοιων αριθμών παραπέμπω στο πρόβλημα 118 της εξαιρετικής συλλογής προβλημάτων στοιχειώδους θεωρίας αριθμών του Sierpinski "Problems in Elementary Number Theory" (υπάρχει και στα ελληνικά).

Αλέξανδρος

Πράγματι, από εκεί το πήρα το θέμα. Η αλήθεια είναι ότι τη λύση που υπάρχει εκεί είναι όντως δύσκολο να τη φανταστεί κάποιος. Εγώ έκανα μία άλλη λύση που θεωρώ πιο "φυσιολογική" και σαφώς αυτή περίμενα όταν πρότεινα το θέμα.

[Κοτσόβολης Γιώργος]

Κάθε τέτοιος ονομάζεται "αριθμός Sierpinski". Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης έγινε το 1960 από τον Sierpinski.

Είναι (ακόμη) ανοικτό πρόβλημα για το αν ο αριθμός 78557 είναι (όπως είχαν ισχυριστεί οι Sierpinski και Selfridge το 1967) ο μικρότερος αριθμός Sierpinski.

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε

εδώ για τους αριθμούς Sierpinski
εδώ για το πρόβλημα Sierpinski

Για την (δύσκολη) απόδειξη της απειρίας τέτοιων αριθμών παραπέμπω στο πρόβλημα 118 της εξαιρετικής συλλογής προβλημάτων στοιχειώδους θεωρίας αριθμών του Sierpinski "Problems in Elementary Number Theory" (υπάρχει και στα ελληνικά).

Αλέξανδρος

Γεια σας και από μένα.Αν κάνει ο δεν κάνει και ο ;;; Συνεπώς αν βρούμε έναν, το οτι υπάρχουν άπειροι δεν είναι απλό;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Γιώργο πολύ σωστή η παρατήρηση σου.
Να συμπληρώσω ότι στο βιβλίο του SIERPINSKI είναι το πρόβλημα 4/128 και όχι
όπως εκ παραδρομής έγραψε ο Αλέξαντρος το 118.
(το βιβλίο που έχω είναι το ελληνικό)