Εμβαδόν πενταγώνου

#1

Το

είναι κυρτό τετράπλευρο με BC=BK, DC=DK

. Τα σημεία A,E

επιλέγονται έτσι ώστε το ABCDE

να είναι κυρτό πεντάγωνο, το

να βρίσκεται στο εσωτερικό του και να είναι AB=BC, DE=DC

. Αν

και $\widehat{ABC}=120^0, \widehat{CDE}=60^0$ , να βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου ABCDE

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

coyote · #2

george visvikis έγραψε:Το είναι κυρτό τετράπλευρο με . Τα σημεία επιλέγονται έτσι ώστε το

να είναι κυρτό πεντάγωνο, το να βρίσκεται στο εσωτερικό του και να είναι . Αν

και $\widehat{ABC}=120^0, \widehat{CDE}=60^0$ , να βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μόνο όταν δεν δίνεται το σχήμα, καταλαβαίνουμε την αξία του

Έστω σημείο

, στο ημιεπίπεδο (BD, K)

, τέτοιο ώστε $\widehat{MBD}=60^\circ$ και $\widehat{MDB}=30^\circ$ . To

βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας CDE

.
Θα δείξουμε ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat{KDE}$ .

Αν

είναι η διχοτόμος της $\widehat{KDE}$ τότε $a=\widehat{CDB}=\widehat{BDK}$ και $b=\widehat{KDx}=\widehat{EDx}$ .
Έχουμε λοιπόν $2a+2b=60\Rightarrow a+b=30^\circ$ , δηλαδή $\widehat{BDx}=30^\circ$ , που σημαίνει ότι η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{KDE}$ .

Επειδή όμως είναι και DK=DE

προκύπτει ότι τα K,E

είναι συμμετρικά ως προς την

Ομοίως δείχνουμε ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat{KBA}$ . Τελικά το

επιτρέπεται να κινηθεί μέσα στο τρίγωνο BDM

και τα σημεία A,E,C

είναι τα συμμετρικά του

αντίστοιχα ως προς τις ευθείες MB,BD,DM

Και επίσης, επειδή $\widehat{BMD}=90^\circ\Rightarrow \widehat{AME}=180^\circ$ , δηλαδή η πλευρά

διέρχεται πάντα από το σταθερό

.

Τέλος, το πεντάγωνο χωρίζεται σε τρία ζεύγη ανά δύο συμμετρικών τριγώνων. Τα τρία τριγωνάκια που απαρτίζουν το BDM

έχουν το ζευγάρι τους στο εξωτερικό του BDM

. Έτσι λοιπόν το εμβαδόν του πενταγώνου είναι ίσο με $2(BDM) = 2\cdot\frac{1}{2}BD^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = BD^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Εμβαδόν πενταγώνου

Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Μέλη σε σύνδεση