Να βρεθούν οι τρεις αριθμοί

#1

Αν $\displaystyle{x+y^2 =z^2 +12}$ , $\displaystyle{y+z^2 =x^2 +12}$ και $\displaystyle{z+x^2 =y^2 -12}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Γράφω λίγο περιεκτικά την λύση μου, λόγω του περασμένου της ώρας...

Προσθέτοντας κατά μέλη την πρώτη και την τρίτη σχέση λαμβάνουμε (z+x)(x-z+1)=0

και άρα

ή

.

Στην πρώτη περίπτωση με αντικατάσταση στις δύο άλλες σχέσεις, καταλήγουμε σε ένα σύστημα δυτέρου βαθμού, το οποίο δίνει τις λύσεις (x,y,z)=(12,12,-12),(-11,12,11)

.
Ομοίως πράτουμε και στην περίπτωση z=x+1

(νομίζω δεν αλλάζει κάτι ως προς τον τρόπο επίλυσης...).

Ορέστης

Σταμ. Γλάρος · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν $\displaystyle{x+y^2 =z^2 +12}$ , $\displaystyle{y+z^2 =x^2 +12}$ και $\displaystyle{z+x^2 =y^2 -12}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$

Καλησπέρα. Μια σκέψη...
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 3 εξισώσεις έχουμε: x+y+z=12

.
Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση του συστήματος έχουμε: x+y^2 =z^2 +x+y+z

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ y^2 -z^2 -(y+z)=0

$\Leftrightarrow$ (y+z)(y-z-1)=0

.
Αν

τότε

και

οπότε με αντικατάσταση από την δεύτερη εξίσωση προκύπτει : y^2+y-156=0

με ρίζες

ή

.
Άρα έχουμε λύσεις: (x,y,z)=(12,12,-12)

και

.

Αν

$\Leftrightarrow$ y=z+1

τότε με αντικατάσταση στην δεύτερη εξίσωση της x+y+z=12

προκύπτει : (z+x)(z-x-1)=0

.
Στην περίπτωση κατά την οποία z+x=0

έχουμε λύσεις: (x,y,z)=(12,12,-12)

και

.

Αν τώρα $z+x\neq 0$ $\Rightarrow$ z=x+1

.

Στην περίπτωση αυτή έχουμε το σύστημα :
x+y+z=12

.
Από εδώ έχουμε λύση (x,y,z)=(3,5,4)

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Να βρεθούν οι τρεις αριθμοί

Να βρεθούν οι τρεις αριθμοί

Re: Να βρεθούν οι τρεις αριθμοί

Re: Να βρεθούν οι τρεις αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση