Ανάπτυγμα σε σειρά, συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώματος

#1

Έστω $\displaystyle{A_1(t):=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^t}\,dx}$ και $\displaystyle{A_2(t):=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+x^t}\,dx}$ , με t>1

.

Δείξτε ότι για t>1

είναι:

$\displaystyle{A_1(t)=1+\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\frac{(1-2^{1-k})\zeta(k)}{t^k}}$ και $\displaystyle{A_2(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(1-2^{1-k})\zeta(k)}{t^k}}$ ,

όπου για τον πρώτο δείκτη άθροισης εννοούμε $\displaystyle{\lim_{k\to1^+}(1-2^{1-k})\zeta(k)}$ .

( $\zeta$ η συνάρτηση Riemann)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $\displaystyle{A_1(t):=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^t}\,dx}$ και $\displaystyle{A_2(t):=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+x^t}\,dx}$ , με .

Δείξτε ότι για είναι:

$\displaystyle{A_1(t)=1+\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\frac{(1-2^{1-k})\zeta(k)}{t^k}}$ και $\displaystyle{A_2(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(1-2^{1-k})\zeta(k)}{t^k}}$ ,

όπου για τον πρώτο δείκτη άθροισης εννοούμε $\displaystyle{\lim_{k\to1^+}(1-2^{1-k})\zeta(k)}$ .

( $\zeta$ η συνάρτηση Riemann)

$\displaystyle{{A_1}\left( t \right) = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^t}}}dx} \mathop { = = = = }\limits^{{x^t} = u} \frac{1}{t} \cdot \int\limits_0^1 {\frac{{{u^{\frac{1}{t} - 1}}}}{{1 + u}}du} = \frac{1}{t} \cdot \int\limits_0^1 {{u^{\frac{1}{t} - 1}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{u^n}} du} }$ $\displaystyle{ = \frac{1}{t} \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\int\limits_0^1 {{u^{n - 1 + \frac{1}{t}}}} } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{1 + n \cdot t}}} }$

Όμως $\displaystyle{\left( {1 - {2^{1 - k}}} \right)\zeta \left( k \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^k}}}} }$ (ο τύπος ισχύει και για $\displaystyle{k \to {1^ + }}$ )

Οπότε $\displaystyle{1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}\frac{{\left( {1 - {2^{1 - k}}} \right)\zeta \left( k \right)}}{{{t^k}}}} = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{t^k}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^k}}}} } = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {\frac{{ - 1}}{{t \cdot n}}} \right)}^k}} } = }$

$\displaystyle{ = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {\frac{{ - 1}}{{t \cdot n}}} \right)\frac{1}{{1 + \frac{1}{{t \cdot n}}}}} = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{1 + t \cdot n}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{1 + t \cdot n}}} }$

Τελικά $\displaystyle{{A_1}\left( t \right) = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^t}}}dx} = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}\frac{{\left( {1 - {2^{1 - k}}} \right)\zeta \left( k \right)}}{{{t^k}}}} }$

Όμοια και το $\displaystyle{{A_2}\left( t \right)}$ με τον μετασχηματισμό $\displaystyle{x = \frac{1}{u}}$ (υποθέτω)

#3

Ωραία Σεραφείμ. Είναι από το νέο τεύχος του Mathproblems.

Ανάπτυγμα σε σειρά, συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώματος

Ανάπτυγμα σε σειρά, συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώματος

Re: Ανάπτυγμα σε σειρά, συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώμα

Re: Ανάπτυγμα σε σειρά, συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώμα

Μέλη σε σύνδεση