Άσκηση από διαγώνισμα

hsiodos · #1

Καλό μεσημέρι

Μια άσκηση που τέθηκε σε διαγώνισμα(δεν έχει σημασία που)

Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε $\displaystyle{f{'} (0) = f{'} (1) = 0}$

α) Αν ισχύει $\displaystyle{f{''} (x) \ge 0\,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(0) = f(1)}$

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (0,1)}$ , τέτοιο ώστε, $\displaystyle{f{''} (\xi ) = \left( {f{'} (\xi )} \right)^2 }$

Γιώργος

skywalker13 · #2

Αν καταλαβα καλα απο την υπόθεση, το γεγονός οτι $f''\left(x \right)\geq 0$ δε συνεπάγεται οτι η f ' θα ειναι γνησίως αύξουσα.
Αν ναι μπορεί καποιος να μου εξηγήσει γιατί?

#3

skywalker13 έγραψε:Αν καταλαβα καλα απο την υπόθεση, το γεγονός οτι $f''\left(x \right)\geq 0$ δε συνεπάγεται οτι η f ' θα ειναι γνησίως αύξουσα.
Αν ναι μπορεί καποιος να μου εξηγήσει γιατί?

Πάρε για παράδειγμα $f(x)=5x+1, x \in R$ , οπότε f'(x)=5

και $f''(x)=0\geq 0$ ,

αλλά η f' είναι σταθερή.

A.Spyridakis · #4

α) Αν f(0)<f(1), με Θ.M.T. στο [0, 1] θα υπάρχει $\xi \epsilon (0,1)$ ώστε f ' (ξ) = f(1)-f(0)>0 = f ' (1) με ξ<1, άτοπο , διότι f ' αύξουσα. Όμοια aν f(0)>f(1), με Θ.M.T. στο [0, 1] θα υπάρχει $\xi \epsilon (0,1)$ ώστε f ' (ξ) = f(1)-f(0)<0 = f ' (0) με ξ>0, άτοπο.
β) Rolle στην $g(x) = f'(x)e^{-f '(x)}$ στο [0, 1].

ΥΓ Πού χρειάζεται η συνέχεια της 2ης παραγώγου και δεν το βλέπω?

Dimitris X · #5

A.Spyridakis έγραψε:α) Αν f(0)<f(1), με Θ.M.T. στο [0, 1] θα υπάρχει $\xi \epsilon (0,1)$ ώστε f ' (ξ) = f(1)-f(0)>0 = f ' (1) με ξ<1, άτοπο , διότι f ' αύξουσα. Όμοια aν f(0)>f(1), με Θ.M.T. στο [0, 1] θα υπάρχει $\xi \epsilon (0,1)$ ώστε f ' (ξ) = f(1)-f(0)<0 = f ' (0) με ξ>0, άτοπο.

Πως χρησημοποιείτε το γεγονός ότι η f' είναι αύξουσα???
Είναι σωστο???

Νομίζω η απόδηξη για τo i είναι:

Έστω f(1)>f(0)

Από ΘΜΤ στο [0,1] υπάρχει $x_0 \in (0,1)$ ώστε $f{'}(x_0)=f(1)-f(0)>0$ .Aπό ΘΜΤ στο [x_0,1]

και την f' υπάρχει $x_1 \in (x_o,1)$ ώστε $f{''}(x_1)=\frac{f{'}(1)-f{'}(x_0)}{1-x_0}<0$ -άτοπο.

Αντίστοιχα και για f(1)<f(0).

manos1992 · #6

Dimitris X έγραψε:Πως χρησημοποιείτε το γεγονός ότι η f' είναι αύξουσα???
Είναι σωστο???

νομιζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα αφού $f''(x)\geq 0$ η f' είναι αύξουσα που σημαίνει ότι για κάθε x_1>x_2

ισχύει $f'(x_1)\geq f'(x_2)$

Μάλλον μπερδεύτηκες με τη γνησίως αύξουσα...
πάντως κι ο εναλλακτικός τροπος απόδειξης είναι ωραίος!

hsiodos · #7

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις

1. Η εκφώνηση είναι όπως δόθηκε στο συγκεκριμένο διαγώνισμα.

2. Αντώνη νομίζω πως στο β) στην συνάρτηση που θεωρείς , στον εκθέτη, έχει μπει κατά λάθος ένας τόνος που δεν χρειάζεται.

3. Ήθελα να ρωτήσω το εξής:
Στο α) δεν προκύπτει ότι $\displaystyle{f{''} (x) = f{'} (x) = 0\,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [0,1]}$ ;

Γιώργος

coheNakatos · #8

και εγω αυτο σκεφτηκα και μαλιστα η f' σταθερη με c=0 αρα f σταθερη αρα ισχυει και οτι f(0)=f(1)

Ιστοσελίδα · #9

hsiodos έγραψε:
Στο α) δεν προκύπτει ότι $\displaystyle{f{''} (x) = f{'} (x) = 0\,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [0,1]}$ ;

Για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την

σε καθένα από τα διαστήματα $\left[ {0,x} \right],\,\,\,\left[ {x,1} \right]$ αφού οι προυποθέσεις ικανοποιούνται.
Έτσι θα υπάρχουν $x_1 \in \left( {0,x} \right)$ και $x_2 \in \left( {x,1} \right)$ ώστε $\frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = f''\left( {x_1 } \right) \ge 0$ και $\frac{{f'\left( 1 \right) - f'\left( x \right)}}{{1 - x}} = f''\left( {x_2 } \right) & \ge 0$ , από όπου έχουμε ότι $f'\left( x \right) \ge f'\left( 0 \right)$ και $f'\left( x \right) \le f'\left( 1 \right)$ οπότε $f'\left( x \right) = 0$ για κάθε $x \in \left[ {0,1} \right]$ άρα $f\left( x \right) = c$ με $c \in R$ για κάθε $x \in \left[ {0,1} \right]$ .

hsiodos · #10

Μίλτο ευχαριστώ για την απάντηση.

Γιώργος

Άσκηση από διαγώνισμα

Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Re: Άσκηση από διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση