Πρώτος παράγοντας!

#1

Ο αριθμός $\displaystyle{1.002.004.008.016.032}$ έχει πρώτο παράγοντα $\displaystyle{p>250.000.}$ Βρείτε τον $\displaystyle{p.}$

chris · #2

Έχουμε

$A=1.002.004.008.016.032=10^{15}+2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^9+8\cdot 10^6+16\cdot 10^3+32$

Και παρατηρώντας το μοτίβο των όρων πολλαπλασιάζουμε με $2 \cdot 10^{-3}$ .

$2\cdot 10^{-3}\cdot A=2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^{9}+8\cdot10^{6}+16\cdot10^{3}+32+64\cdot10^{-3}$
Οπότε με αφαίρεση κατά μέλη:
$\displaystyle A-2\cdot 10^{-3}A=10^{15}-64\cdot 10^{-3}\Rightarrow A=\frac{10^{18}-64}{10^3-2}=\frac{\left ( 10^9-8 \right )\left ( 10^9+8 \right )}{10^3-2}=\left ( 10^9+8 \right )\left ( 10^6+2\cdot10^3+4 \right )=4\cdot 250.501\left ( 10^9+8 \right )$

Άρα $\boxed{p=250.501}$

#3

matha έγραψε:Ο αριθμός $\displaystyle{1.002.004.008.016.032}$ έχει πρώτο παράγοντα $\displaystyle{p>250.000.}$ Βρείτε τον $\displaystyle{p.}$

chris έγραψε:Έχουμε

$A=1.002.004.008.016.032=10^{15}+2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^9+8\cdot 10^6+16\cdot 10^3+32$

Και παρατηρώντας το μοτίβο των όρων πολλαπλασιάζουμε με $2 \cdot 10^{-3}$ .

$2\cdot 10^{-3}\cdot A=2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^{9}+8\cdot10^{6}+16\cdot10^{3}+32+64\cdot10^{-3}$
Οπότε με αφαίρεση κατά μέλη:
$\displaystyle A-2\cdot 10^{-3}A=10^{15}-64\cdot 10^{-3}\Rightarrow A=\frac{10^{18}-64}{10^3-2}=\frac{\left ( 10^9-8 \right )\left ( 10^9+8 \right )}{10^3-2}=\left ( 10^9+8 \right )\left ( 10^6+2\cdot10^3+4 \right )=4\cdot 250.501\left ( 10^9+8 \right )$

Άρα $\boxed{p=250.501}$

Χρήστο και Θάνο καλημέρα.

Απλά θα ήθελα να πω στη λύση του Χρήστου ότι το άθροισμα

$\displaystyle{A=1.002.004.008.016.032=32+16\cdot 10^3+8\cdot10^6+4\cdot10^9+2\cdot 10^{12}+10^{15}}$

είναι απλά ένα άθροισμα έξι πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με αρχικό όρο τον $\displaystyle{32}$ και λόγο

$\displaystyle{ \omega=2\cdot 10^{-3}}$ κι έτσι ο τύπος βρίσκεται αμέσως από το γνωστό τύπο.

Άκόμα επειδή δίνεται ότι ο αριθμός $\displaystyle{A}$ έχει έναν πρώτο παράγοντα $\displaystyle{p}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{p>250.000}$

δεχόμαστε από τη μορφή που υπολόγισε ο Χρήστος ότι $\displaystyle{p=250.501}$ (χωρίς να ελέξγουμε αν ο αριθμός αυτός είναι πρώτος)

και αυτό διότι οι δύο άλλοι παράγοντες είναι σύνθετοι κι ότι ο $\displaystyle{4}$ και ο $\displaystyle{10^9+8=2^3 \cdot 3^2\cdot7 \cdot109^2 \cdot167}\ \ (1)$

έχουν πρώτους παράγοντες μικρότερους του αριθμού $\displaystyle{250.000}$ .

Παρατήρηση:
Η μορφή (1) βρίσκεται με πολύ κόπο αλλά εγώ τη βρήκα με τη βοήθεια λογισμικού, όπως και τη μορφή του αριθμού $\displaystyle{A}$

: Υπολογισμός πρώτου αριθμού 1.PNG (15.06 KiB) Προβλήθηκε 1510 φορές

Κώστας Δόρτσιος

chris · #4

KDORTSI έγραψε:...
και ο $\displaystyle{10^9+8=2^3 \cdot 3^2\cdot7$
...
Παρατήρηση:
Η μορφή (1) βρίσκεται με πολύ κόπο αλλά εγώ τη βρήκα με τη βοήθεια λογισμικού, όπως και τη μορφή του αριθμού $\displaystyle{A}$

Ίσως εδώ να βοηθάει και η ίδια ταυτότητα που χρησιμοποιήθηκε ήδη για να μην καταφύγουμε στην όντως επίπονη εύρεση του γινομένου πρώτων παραγόντων,δηλαδή:
$10^9+8=(10^3+2)(10^6-2\cdot 10^3+4)$

Όμως προφανώς 10^3+2<250.000

και $10^6-2 \cdot 10^3+4=998.004 =4 \cdot 249.501$
Άρα κάθε παράγοντας πέραν του αριθμού 250.501

είναι μικρότερος του 250.000

.

#5

Ελαφρώς διαφορετικά από τον Χρήστο:

Θέτοντας $\displaystyle{a=10^3, b=2,}$ ο αριθμός είναι ο

$\displaystyle{x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5=\frac{x^6-y^6}{x-y}=\frac{(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{x-y}=}$

$\displaystyle{=\frac{\cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)}{\cancel{x-y}}=(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)=}$

$\displaystyle{=1002\cdot 1002004\cdot 998004=2^5\cdot 3^2\cdot 7\cdot 109^2\cdot 167\cdot 250501.}$

Πρώτος παράγοντας!

Πρώτος παράγοντας!

Re: Πρώτος παράγοντας!

Re: Πρώτος παράγοντας!

Re: Πρώτος παράγοντας!

Re: Πρώτος παράγοντας!

Μέλη σε σύνδεση