2016 ριζικά!

Ορέστης Λιγνός · #1

Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{...}}}}}=y$ ( 2016

ριζικά) δεν έχει έκτος της μηδενικής άλλη ακέραια λύση.

#2

Ας γράψουμε A_n(x)

για τον αριθμό που παίρνουμε με

ριζικά.

Έστω ότι οι

και $y = A_{2016}(x)$ είναι ακέραιοι με $x \neq 0$ . Τότε και ο $A_{2015}(x) = A_{2016}(x)^2 - x$ είναι επίσης ακέραιος. Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε πως και ο $A_{2014}(x)$ είναι ακέραιος, και επαγωγικά πως ο A_2(x)

είναι ακέραιος.

Έστω A_2(x) = m

. Τότε $m^2 = x + \sqrt{x}$ . Άρα ο $\sqrt{x}$ είναι επίσης ακέραιος και άρα x = k^2

για κάποιον θετικό ακέραιο

. Τότε όμως είναι m^2 = k^2+k

. Άρα

και άρα

. Δηλαδή ο

δεν είναι ακέραιος, άτοπο.

Ορέστης Λιγνός · #3

Demetres έγραψε:Ας γράψουμε για τον αριθμό που παίρνουμε με ριζικά.

Έστω ότι οι και $y = A_{2016}(x)$ είναι ακέραιοι με $x \neq 0$ . Τότε και ο $A_{2015}(x) = A_{2016}(x)^2 - x$ είναι επίσης ακέραιος. Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε πως και ο $A_{2014}(x)$ είναι ακέραιος, και επαγωγικά πως ο είναι ακέραιος.

Έστω . Τότε $m^2 = x + \sqrt{x}$ . Άρα ο $\sqrt{x}$ είναι επίσης ακέραιος και άρα για κάποιον θετικό ακέραιο . Τότε όμως είναι . Άρα και άρα . Δηλαδή ο δεν είναι ακέραιος, άτοπο.

Σας ευχαριστώ κύριε Δημήτρη για την ωραία λύση!

2016 ριζικά!

2016 ριζικά!

Re: 2016 ριζικά!

Re: 2016 ριζικά!

Μέλη σε σύνδεση