Διτετραγωνίζοντας

KARKAR · #1

: Διτετραγωνίζοντας.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Τα σημεία

είναι τα μέσα των πλευρών τετραγώνου ABCD

. Κάντε τις συνδέσεις

του σχήματος και α) Βρείτε το λόγο των εμβαδών του πράσινου τετραγώνου προς το αρχικό

β) Δείξτε ότι το μπλε οκτάγωνο είναι ισόπλευρο αλλά όχι κανονικό και βρείτε το λόγο $\dfrac{E_{\mu\pi\lambda\epsilon}}{E_{\pi\rho\alpha\sigma}}$

sotiriszogos · #2

Λήψη ggb

α) Έστω

η πλευρά του αρχικού τετραγώνου.
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα LAB, KDA, NCD, MBC

είναι ίσα και το συνολικό εμβαδόν τους ισούται με $4\cdot\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{x}{2}=x^2$ δηλαδή είναι ίσο με το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Οπότε το εμβαδόν του πράσινου τετραγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των κοινών χωρίων των τεσσάρων τριγώνων που προαναφέραμε. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $AL\Theta, \Gamma NZ,AEK, BHM$ είναι ίσα. Έστω $z=A\Theta$ . Επειδή τα $AL\Theta , AK\Delta$ είναι ανάλογα με αναλογία $\frac{AL}{A\Delta}=\frac{1}{2}$ και $K\Delta=\frac{A\Delta}{2}$ τότε $L\Theta=\frac{A\Theta}{2}=\frac{z}{2}$ . Ακόμη, απ την αναλογία προκύπτει ότι $A\Theta=AE=z$ άρα το πράσινο τετράγωνο θα έχει πλευρά ίση με

.
Από πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $AL\Theta$ έχουμε : $(LA)^2=(A\Theta)^2+(L\Theta)^2 \Rightarrow (\frac{x}{2})^2=z^2+(\frac{z}{2})^2 \Rightarrow x^2=5z^2$ Άρα προκύπτει ότι ο λόγος του εμβαδου του πράσινου τετραγώνου προς το εμβαδο του αρχικού τετραγωνου είναι $\displaystyle \frac{z^2}{x^2}=\frac{1}{5}$ .
β)Επειδή $A\widehat KB=\Delta \widehat NA=\Gamma \widehat M\Delta =B\widehat LK$ και $\Delta M \perp L\Gamma, KB\perp L\Gamma, \Delta M\perp NA, KB\perp AN, KA\perp \Delta N, KA\perp BL, \Gamma M\perp \Delta N, \Gamma M\perp BL$ .
Οπότε τα τρίγωνα $P\Lambda M,HNM, \Sigma N \Xi, ZO\Xi, TO\Pi, EI\Pi, YIK, \Theta \Lambda K$ είναι ίσα.
Οπότε $\Lambda M=MN=N\Xi=\Xi O=O\Pi=\Pi I=IK=K\Lambda$ .
Άρα το οκτάγωνο είναι ισόπλευρο.
$z^2=\frac{x^2}{5}$ .
Φέρνουμε την $LK=\frac{x}{4}$ .
Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογωνιο τρίγωνο $LK\Theta$ :
$\displaystyle (LK)^2=(LA)^2-(A\Theta)^2+(\Theta K)^2 \Rightarrow \frac{x^2}{16}=\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{5}+(\Theta K)^2 \Rightarrow \cdot\cdot\cdot\cdot \Rightarrow \Theta K=\frac{x}{\sqrt{80}}$ .
Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABL

.
$\displaystyle (LB)^2=(AB)^2+(AL)^2 \Rightarrow (LB)^2=x^2+\frac{x^2}{4} \Rightarrow LB=\frac{\sqrt{5}x}{2}$ .
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\Lambda K\Theta$ και $\Lambda LY$ είναι ανάλογα και ισχύει $\displaystyle \frac{z}{4}=\frac{x}{\sqrt{80}}=\Theta K$ και $\frac{K\Lambda}{LB}=\frac{1}{6} \Rightarrow K\Lambda=\frac{\sqrt{5}x}{12}$
Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $K\Lambda \Theta$
$(K\Lambda)^2=(\Theta K)^2+(\Theta \Lambda)2 \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \Theta\Lambda=\frac{x}{\sqrt{45}}$ .
Οπότε το εμβαδόν του οκταγώνου θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου μείον 4 φορες το εμβαδόν του $K\Lambda\Theta$ .
Δηλαδή $\displaystyle E_\mu=z^2-4\cdot\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{80}}{\frac{x}{\sqrt{45}}=\frac{x^2}{5}-\frac{x^2}{30}$ .
Οπότε $\displaystyle \frac{E_\mu}{E_\pi}=\frac{\frac{x^2}{5}-\frac{x^2}{30}}{\frac{x^2}{5}}=\frac{25}{30}$ .
Ακόμη, για να είναι το οκτάγωνο κανονικό τότε πρέπει η κάθε γωνία του να είναι ίση με $135^\circ$ .
Έστω $K\widehat\Lambda M=135^\circ$ . Τότε $K\widehat\Lambda\Theta=180^\circ -135^\circ=45^\circ$ .
και άρα $sin(K\widehat\Lambda\Theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Όμως $sin(K\widehat\Lambda\Theta)=\frac{\Theta K}{K\Lambda}=\frac{3}{5}$ . Άτοπο. Άρα το οκτάγωνο δεν είναι κανονικό.

Διτετραγωνίζοντας

Διτετραγωνίζοντας

Re: Διτετραγωνίζοντας

Μέλη σε σύνδεση