Εύρεση ορθογώνιων τροχιών.

Ωmega Man · #1

Επί της ελικοειδούς επιφάνειας $\bf S: x=u\cos(v)\;,\;y=u\sin(v)\;,\;z=a\cdot v$ , δίνεται η οικογένεια καμπυλών με $\bf u+v^2=c$ . Να βρεθεί η εξίσωση των ορθογώνιων τροχιών της δοθείσας οικογένειας.

#2

Ξεφυλλίζοντας τις πίσω σελίδες .. ένα θέμα απ' τα παλιά ..

$\displaystyle{\vec x = \vec x\left( {u,v} \right) = \left( {u\cos v,u\sin v,av} \right)}$ . Ζητάμε κανονική επιφάνεια, συνεπώς το παραμετρικό επίπεδο πρέπει να είναι ανοιχτό υποσύνολο του $\displaystyle{{\mathbb{R}^2}}$ .

Θεωρούμε παραμετρικό σύνολο το $\displaystyle{\left\{ {\left( {u,v} \right)/u > 0,v > 0} \right\}}$ . Τότε $\displaystyle{{\vec x_u} = \left( {\cos v,\sin v,0} \right)}$ και $\displaystyle{{\vec x_v} = \left( { - u\sin v,u\cos v,a} \right)}$ .

Τα θεμελιώδη ποσά 1ης τάξης είναι $\displaystyle{E = {\vec x_u}^2 = 1}$ , $\displaystyle{F = {\vec x_u} \cdot {\vec x_v} = 0}$ και $\displaystyle{G = {\vec x_v}^2 = {u^2} + {a^2}}$ .

Στην καμπύλη $\displaystyle{{\gamma _1}:u + {v^2} = c}$ έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{{du}}{{dv}} = - 2v}$ με εφαπτόμενο διάνυσμα $\displaystyle{{\vec t_1} = \frac{{d\vec x}}{{dv}} = {\vec x_u}\frac{{du}}{{dv}} + {\vec x_v} = - 2v{\vec x_u} + {\vec x_v}}$ .

Έστω καμπύλη $\displaystyle{{\gamma _2}:u = u\left( v \right)}$ με $\displaystyle{\vec x\left( {{\gamma _1}} \right)}$ ορθογώνια της $\displaystyle{\vec x\left( {{\gamma _2}} \right)}$ και με εφαπτόμενο διάνυσμα το $\displaystyle{{\vec t_2}}$ τότε $\displaystyle{{\vec t_2} = {\vec x_u}\frac{{du}}{{dv}} + {\vec x_v}}}$ .

Οπότε $\displaystyle{{\vec t_1} \bot {\vec t_2} \Rightarrow {\vec t_1} \cdot {\vec t_2} = 0 \Rightarrow \left( {{{\vec x}_u}\frac{{du}}{{dv}} + {{\vec x}_v}} \right)\left( { - 2v{{\vec x}_u} + {{\vec x}_v}} \right) = 0 \Rightarrow - 2v \cdot E \cdot \frac{{du}}{{dv}} + \left( {\frac{{du}}{{dv}} - 2v} \right) \cdot F + G = 0 \Rightarrow {u^2} + {a^2} - 2v \cdot \frac{{du}}{{dv}} = 0}$

Δηλαδή $\displaystyle{\frac{{du}}{{{u^2} + {a^2}}} = \frac{{dv}}{{2v}}}$ που με ολοκλήρωση δίδει $\displaystyle{{\gamma _2}:\arctan \left( {\frac{u}{a}} \right) = a\ln \left( {c \cdot \sqrt v } \right),c > 0}$

Βέβαια, την επιφάνεια για ορθό κύλινδρο τη βλέπω ..

Εύρεση ορθογώνιων τροχιών.

Εύρεση ορθογώνιων τροχιών.

Re: Εύρεση ορθογώνιων τροχιών.

Μέλη σε σύνδεση