Εξίσωση με τρεις αγνώστους

KARKAR · #1

Να λυθεί ως προς

, η εξίσωση : $\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{x+z}$ , ( $x , y , z \in \mathbb{R}$ )

#2

Καλημέρα σε όλους.

Δίνω μια υποθετική "λύση", με σκοπό να προεκτείνω το θέμα του Θανάση .
Πιστεύω ότι αξίζει να δίνουμε στην τάξη τέτοια "διδακτικά επεισόδια".

H εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle z + y \ne 0$ και για $\displaystyle x \ne - z$ .

Είναι $\displaystyle \frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{x + z}} \Leftrightarrow \frac{x}{{y + z + x}} = \frac{y}{{x + z + y}} \Leftrightarrow x = y$ .

Άρα για κάθε πραγματικό

, η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, κάθε τιμή του

, εκτός της τιμής

.

Εντοπίστε το λάθος στη "λύση"

Christos.N · #3

αλλά και η x=-y-z

Υ.Γ.: Ένα λάθος σε πράξεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλημέρα σε όλους.

Δίνω μια υποθετική "λύση", με σκοπό να προεκτείνω το θέμα του Θανάση .
Πιστεύω ότι αξίζει να δίνουμε στην τάξη τέτοια "διδακτικά επεισόδια".

H εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle z + y \ne 0$ και για $\displaystyle x \ne - z$ .

Είναι $\displaystyle \frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{x + z}} \Leftrightarrow \frac{x}{{y + z + x}} = \frac{y}{{x + z + y}} \Leftrightarrow x = y$ .

Άρα για κάθε πραγματικό , η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, κάθε τιμή του , εκτός της τιμής .

Εντοπίστε το λάθος στη "λύση"

Γιώργο η λύση που έκανες δίνει ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x=y

Ο Θανάσης σαφώς αναφέρει ότι ο άγνωστος είναι το

#5

Καλησπέρα σε όλους.

Αφού δεν εκφράστηκε ενδιαφέρον από μαθητές για το θέμα, ας δώσω τη συνέχειά του για να μην μείνει ημιτελές.

Το σφάλμα που ήθελα να τονίσω, με την παραπάνω ανάρτηση, είναι η αναγκαιότητα να ελέγχουμε τις τιμές των νέων παρονομαστών που προκύπτουν κατά τη λύση της άσκησης. Εδώ προσθέτω τους αριθμητές στους παρονομαστές, οπότε χρειάζεται να σημειωθεί ότι $x+y+z \ne 0$ . Αυτό είναι κάτι που συχνά παραβλέπεται, επειδή έχουμε συνηθίσει να δίνουμε τους περιορισμούς στην αρχή της άσκησης.

Μια άλλη λύση:

Άγνωστος είναι ο

, οπότε θεωρούμε τους y, z

μεταβλητές στις οποίες δίνουμε εμείς τιμές. Θα διερευνήσουμε για ποιες τιμές τους έχει λύσεις η εξίσωση και ποιες είναι ευτές.

H εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle z + y \ne 0$ . και για $\displaystyle x \ne - z$ .

$\displaystyle \frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{x + z}} \Leftrightarrow {x^2} + xz = {y^2} + yz \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + xz - yz = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + z\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y + z} \right) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x = y\;\; \vee \;\;x = - y - z} \right)$

Οπότε για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών y, z

με $\displaystyle y + z \ne 0$ , η εξίσωση έχει ως λύση κάθε τιμή του

ή κάθε τιμή του -y-z

.

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση