Ίσεμβαδικές Περιοχές

#1

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD

θεωρούμε σημεία

και

τέτοια ώστε $M\widehat{A}N=M\widehat{C}N=45^\circ$ , με το σημείο

να είναι στο εσωτερικό της γωνίας $N\widehat{A}D$ . Στη συνέχεια χρωματίζουμε τις τριγωνικές περιοχές με κόκκινο ή θαλλασί χρώμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των κόκκινων τριγωνικών περιοχών είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των θαλασσί τριγωνικών περιοχών.

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #2

Επανέρχομαι πλέον για την πλήρη λύση:
Θεωρούμε εξωτερικά του τετραγώνου τρίγωνο CBM'

ίσο με το τρίγωνο CDM.

Τότε ισχύει $BM' = DM,\;\,\angle M'BC = {45^ \circ }$ . Θεωρούμε επίσης εξωτερικά του τετραγώνου τρίγωνο AHB

ίσο με το τρίγωνο AMD.

Τότε ισχύει $HB = DM,\;\;\angle HBA = {45^ \circ }$ . Από τις ισότητες αυτές προκύπτουν οι ισότητες $\tau \rho .\,CMN = \tau \rho .\,CM'N,\;\tau \rho .\,AMN = \tau \rho .\,AHB,$ $\tau \rho .\,NHB = \tau \rho .\,NBM'.$ Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι $\left( {NAHB} \right) + \left( {CMN} \right) = \left( {CNBM'} \right) + \left( {ANM} \right)$ που ισχύει με βάση τις προαναφερθείσες ισότητες τριγώνων.

Ίσεμβαδικές Περιοχές

Ίσεμβαδικές Περιοχές

Re: Ίσεμβαδικές Περιοχές

Μέλη σε σύνδεση