Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

M.S.Vovos · #1

Συνεχίζω με μία ακόμα κατασκευή...

Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η

είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in \left ( 0,1 \right )$ τέτοιο, ώστε: $\displaystyle f\left ( \xi +1 \right )=\frac{f\left ( \xi \right )+f\left ( 2 \right )}{2}$ Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle 2e^{x}-e^{2-x}=1-\frac{xe^{-x}}{2}$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .
Μέχρι 12/12/2016.

Φιλικά,
Μάριος

*Προστέθηκε ερώτημα (1:21 π.μ.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γράψε την σωστά .Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο [0,1]

και εσύ έχεις $f(2).f(\xi +1)$ .

M.S.Vovos · #3

Ναι Σταυρο! Αμα βιάζεσαι να φύγεις...

Ας το κάνουμε το σύνολο των πραγματικών.

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #4

Επαναφορά για όλους!

Σταμ. Γλάρος · #5

[quote="M.S.Vovos"]Συνεχίζω με μία ακόμα κατασκευή...

Άσκηση 1 Έστω ή δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η

είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in \left ( 0,1 \right )$ τέτοιο, ώστε: $\displaystyle f\left ( \xi +1 \right )=\frac{f\left ( \xi \right )+f\left ( 2 \right )}{2}$
Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για την πρώτη ...

Θεωρώ την συνάρτηση g(x)= 2f(x+1)-f(x)-f(2)

Είναι

, αφού

γνησίως αύξουσα.

Επίσης ισχύει g(0)= f(1)-f(0)-(f(2)-f(1)).

Εφαρμόζοντας 2 ΘΜΤ στην

στα διαστήματα [0,1]

και

, αντιστοίχως προκύπτει:
$f'(x_{1})=f(1)-f(0)$ και $f'(x_{2})=f(2)-f(1)$ με $0<x_{1}<1<x_{2}<2.$

Συνεπώς έχουμε : $g(0)= f'(x_{1})-f'(x_{2})<0$ διότι η

είναι γνησίως αύξουσα επειδή η

είναι κυρτή.

Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο

.

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left ( 0,1 \right )$ τέτοιο, ώστε: $g(\xi)=0$ ,
δηλαδή $\displaystyle f\left ( \xi +1 \right )=\frac{f\left ( \xi \right )+f\left ( 2 \right )}{2}$ .

Επίσης g'(x)=2f'(x+1)-f'(x)>0

, διότι η

είναι γνησίως αύξουσα επειδή η

είναι κυρτή.
Άρα

γνησίως αύξουσα , συνεπώς το $\xi$ : μοναδικό.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Grosrouvre · #6

M.S.Vovos έγραψε: Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle 2e^{x}-e^{2-x}=1-\frac{xe^{-x}}{2}$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .

Την προς επίλυση εξίσωση, ισοδύναμα μπορούμε να τη γράψουμε ως $\displaystyle{4e^{2x} - 2e^x + x - 2e^2 = 0$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle{ f(x) = 4e^{2x} - 2e^x + x - 2e^2$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) = 8e^{2x} - 2e^x +1 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (καθώς η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική).

Επομένως, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Επίσης,

f(0) = 2(1 - e^2) < 0

και

.

Οπότε, λόγω του Θ. Bolzano, η f(x) = 0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

και επειδή η

είναι γνησίως μονότονη, αυτή θα είναι μοναδική. Άρα, η ισοδύναμη δοθείσα εξίσωση, θα έχει μία ακριβώς ρίζα στο ίδιο διάστημα.

Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Re: Γ' Λυκείου - Με θεωρήματα

Μέλη σε σύνδεση