Πολύγωνο και Κύκλος

harrisp · #1

Να αποδειχθεί οτι καθε πολύγωνο με περίμετρο 2004

μπορεί να καλυφθεί απο έναν κύκλο με διάμετρο 1002

.

harrisp · #2

Επαναφέρω γιατι ειναι κρίμα να ξεχαστεί. Ειναι ωραίο πρόβλημα.

thrassos · #3

Καλησπέρα Χάρη,
Μια ιδέα είναι να υποθέσουμε ότι $X_{1} , X\jmath$ είναι οι δύο κορυφές του πολυγώνου με την μεγαλύτερη απόσταση
Έστω

η απόσταση αυτή και $a_{1},.....,a_{n}$ οι πλευρές του πολυγώνου και $d_{i}$ η απόσταση μεταξύ των
$X_{1},X_{1+z}$ όπου z=2,3....n-1

.
Τότε εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα σε κάθε τρίγωνο $X_{1},X_{1+m},X_{2+m}$ όπου
m=1,2,3,...,j

(για παράδειγμα $d_{1}<a_{1} + a_{2}$ και $d_{2}<d_{1} + a_{3} \Leftrightarrow d_{2}<a_{1} + a_{2} + a_{3}$ κ.τ.λ)καθώς και σε κάθε τρίγωνο $X_{1},X_{n-t},X_{n-t-1}$ όπου t=0,1,2,3...,j-1

και τέλος προσθέτοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη θα έχουμε $2D<a_{1}+a_{2}+ ..... +a{n}\Leftrightarrow D<1002$ γεγονός που αποδεικνύει ότι κάθε κύκλος με διάμετρο
1002

μπορεί να καλύψει το πολύγωνο.

Ελπίζω να γίνομαι κατανοητός και να μην το έχω χάσει κάπου.

Φιλικά,
Θράσος

harrisp · #4

Πολύγωνο και Κύκλος

Πολύγωνο και Κύκλος

Re: Πολύγωνο και Κύκλος

Re: Πολύγωνο και Κύκλος

Re: Πολύγωνο και Κύκλος

Μέλη σε σύνδεση