Ρητή με άρρητες ρίζες

hlkampel · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $\dfrac{{4x}}{{{x^2} + 3x - 3}} + \dfrac{{6x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 3$

#2

hlkampel έγραψε:Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $\dfrac{{4x}}{{{x^2} + 3x - 3}} + \dfrac{{6x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 3$

Για να αποφύγουμε την τεταρτοβάθμια (που δεν τόλμησα να δοκιμάσω), γράφουμε $y={x^2} + 2x - 3$ . Η εξίσωση γίνεται

$\dfrac{{4x}}{{y+x}} + \dfrac{{6x}}{{y}} = 3$ , ισοδύναμα

4xy+6x(y+x)=3y(y+x)

ή αλλιώς

, οπότε (*)

(2x+3y)(3x-y)=0

Άρα $0=2x+3y= 2x+3({x^2} + 2x - 3)$ από όπου 3x^2+8x-9=0

με ρίζες $x= \frac {1}{3} (-1\pm \sqrt {43})$ . 'Ομοια η άλλη εξίσωση που δίνει $x= \frac {1}{2} (1\pm \sqrt {13})$

(*) Πειρασμός εδώ να κάνω ένα σχόλιο: Επειδή στο φόρουμ είχαμε πολλλλλήήήή συζήτηση για το αν μπορούμε να επιλύσουμε την (*)

ως δευτεροβάθμια με μεταβλητούς συντελεστές (εδώ το

είναι συνάρτηση του

) , ας πω άλλη μια φορά ΝΑΙ ΜΠΟΡΟΥΜΕ. Είχαμε τότε ακούσει αμετροέπειες για το αντίθετο, αλλά ας όψονται οι υποστηρικτές αυτής της θέσης μήπως κατανοήσουν έστω τώρα το σφάλμα τους. Κι αυτό για να μην δίνουμε λάθος μηνύματα στους μαθητές μας.

#3

hlkampel έγραψε:Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $\dfrac{{4x}}{{{x^2} + 3x - 3}} + \dfrac{{6x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 3$

Αλλιώς, αφού διαπιστώσουμε ότι το

δεν είναι ρίζα της εξίσωσης, την γράφουμε με τη μορφή:

$\displaystyle{\frac{4}{{x - \frac{3}{x} + 3}} + \frac{6}{{x - \frac{3}{x} + 2}} = 3}$ και με την αντικατάσταση $\boxed{x-\frac{3}{x}=t}$ (1)

, γίνεται

$\displaystyle{\frac{4}{{t + 3}} + \frac{6}{{t + 2}} = 3 \Leftrightarrow t = 1 \vee t = - \frac{8}{3}}$ και αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην (1)

παίρνουμε αντίστοιχα τις λύσεις: $\boxed{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}$ ή $\boxed{x = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {43} }}{3}}$

Ρητή με άρρητες ρίζες

Ρητή με άρρητες ρίζες

Re: Ρητή με άρρητες ρίζες

Re: Ρητή με άρρητες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση