Cantor-Schröder-Bernstein

#1

Έστω σύνολα A,B

και έστω ένα προς ένα συναρτήσεις $f:A \to B$ και $g:B\to A$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα προς ένα και επί συνάρτηση $h:A\to B$ .

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις. Την έβαλα με αφορμή το θεώρημα σταθερού σημείου των Knaster-Tarski που είδαμε εδώ μιας και οδηγεί σε μία από τις αποδείξεις.

dement · #2

Ορίζουμε $p: A \to B$ με

1. $p(x) = (f \circ g)^n (y)$ αν $x = g \left[ (f \circ g)^n (y) \right]$ για κάποια $n \in \mathbb{N}$ και $y \in B - f(A)$ .

2. p(x) = f(x)

διαφορετικά.

Παρατηρούμε ότι:

- Η

είναι καλώς ορισμένη. Πράγματι, αν $g \left[ (f \circ g)^n (y_1) \right] = g \left[ (f \circ g)^m (y_2) \right]$ για $n, m \in \mathbb{N}, y_1, y_2 \in B - f(A)$ τότε m = n, y_1 = y_2

(λόγω του 1-1 των f, g

).

- Η

είναι επί. Πράγματι, αν για το $y \in B$ ισχύει $y = (f \circ g)^n (y_0)$ για κάποια $n \in \mathbb{N}, y_0 \in B - f(A)$ τότε p[g(y)] = y

, αλλιώς $y \in f(A)$ και $p[f^{-1} (y)] = y$ .

- Η

είναι 1-1. Πράγματι, αν p(x_1) = p(x_2)

, τότε τα

υπόκεινται είτε και τα δύο στην περίπτωση (1) είτε στην περίπτωση (2) (λόγω του 1-1 της

). Στην πρώτη περίπτωση, $(f \circ g)^n (y_1) = (f \circ g)^m (y_2) \implies x_1 = g \left[ (f \circ g)^n (y_1) \right] = g \left[ (f \circ g)^m (y_2) \right] = x_2$ . Στη δεύτερη περίπτωση, $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ .

Cantor-Schröder-Bernstein

Cantor-Schröder-Bernstein

Re: Cantor-Schröder-Bernstein

Μέλη σε σύνδεση