Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

dimitrismath1 · #1

Να υπολογιστούν τα αθροίσματα των παρακάτω σειρών
α)1+3/2+5/4+7/8+9/16....
β)2/1χ2-5/2χ3-7/3χ4-9/4χ5....
γ) 1/1! +3/2!+5/3!+7/4!+.....

μπορεί να βοηθήσει κανείς έχω κολήσει και δίνω αύριο

α) $\displaystyle{1+\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+\cdots }$

β) $\displaystyle{\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{5}{2\cdot 3}-\frac{7}{3\cdot 4}-\frac{9}{4\cdot 5}-\cdots }$

γ) $\displaystyle{\frac{1}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{5}{3!}+\frac{7}{4!}+\cdots }$

Tolaso J Kos · #2

dimitrismath1 έγραψε:
α) $\displaystyle{1+\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+\cdots }$

β) $\displaystyle{\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{5}{2\cdot 3}-\frac{7}{3\cdot 4}-\frac{9}{4\cdot 5}-\cdots }$

γ) $\displaystyle{\frac{1}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{5}{3!}+\frac{7}{4!}+\cdots }$

Δίδω κάποιες υποδείξεις μιας και είναι απλές και υπάρχουν παρόμοια λυμένες σε όλα τα εγχειρίδια του Απειροστικού.

(α) Αυτό ως απειροσειρά γράφεται $\displaystyle{1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{2n}}$ . Τι όριο έχει η ακολουθία $\displaystyle{a_n=\frac{2n+1}{2n}}$ ; Τι συνάγεις αμέσως - αμέσως για τη σύγκλιση ή όχι της σειράς;

(β) Εδώ μάλλον εναλλασσόμενη πρέπει να είναι η σειρά. Αν έχω δίκιο τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (2n+1)}{n(n+1)} &=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(-1)^{n+1} 2n}{n(n+1)} + \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} \right ] \\ &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{aligned}}$ Τι σου θυμίζουν αυτά τα αθροίσματα; Προσπάθησε να συνεχίσεις από δω. Η λύση πλέον είναι δύο γραμμές.

(γ) Αυτό το άθροισμα γράφεται ως εξής
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{n!} = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}}$ Τι σου θυμίζει το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}$ ; Χρησιμοποιήσε το ώστε να υπολογίσεις τις δύο σειρές.

Καλή ενασχόληση και καλή τύχη στην αυριανή σου εξέταση.

dimitrismath1 · #3

ο γενικός όρος της σειράς στον παρανομαστή είναι $2^{n}$

Tolaso J Kos · #4

dimitrismath1 έγραψε:ο γενικός όρος της σειράς στον παρανομαστή είναι $2^{n}$

Ώπα, παρανάγνωσα.

Ε τότε είναι κάπως όμοιο με το (γ). Γράφεται ως
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{2^n} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$ Τι μπορείς να πεις για το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} x^n}$ ; Πώς θα εμφανίσεις το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} n x^n}$ ;

Έδωσα αρκετά εκτενή υποδείξεις. Πιστεύω να είσαι πλέον σε θέση να τα βγάλεις.

Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

Re: Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

Re: Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

Re: Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση