Φραγμένο εμβαδόν

[KARKAR]

Φραγμένο εμβαδόν.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Σε σημείο της υπερβολής , φέρνουμε την εφαπτομένη με κλίση :

η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία . Από το φέρουμε κάθετη στη εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει την καμπύλη στο . Τέλος φέρουμε την , η οποία τέμνει τον στο .

α) Υπολογίστε το .... β) Δείξτε ότι η έχει σταθερό μέτρο .

γ) Υπολογίστε το , συναρτήσει των . δ) ( Προαιρετικό ) : Δείξτε ότι καθώς

το αυξάνει , το ίδιο συμβαίνει και με το . Μπορεί άραγε το , να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε ;

[Σταμ. Γλάρος]

Φραγμένο εμβαδόν.pngΣε σημείο της υπερβολής , φέρνουμε την εφαπτομένη με κλίση :

η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία . Από το φέρουμε κάθετη στη εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει την καμπύλη στο . Τέλος φέρουμε την , η οποία τέμνει τον στο .

α) Υπολογίστε το .... β) Δείξτε ότι η έχει σταθερό μέτρο .

γ) Υπολογίστε το , συναρτήσει των . δ) ( Προαιρετικό ) : Δείξτε ότι καθώς

το αυξάνει , το ίδιο συμβαίνει και με το . Μπορεί άραγε το , να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε ;

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Έστω η εφαπτομένη στο Αφού γνωρίζουμε την κλίση της έχουμε την εξίσωσή της.
Είναι Εύκολα βρίσκουμε τα σημεία τομής με τους άξονες: .
Κινούμαστε στον κλάδο της υπερβολής με και
Συνεπώς .

β) Έστω η ευθεία πο διέρχεται από τα σημεία και .
Αφού Άρα .
Οι συντεταγμένες του είναι οι λύσεις του συστήματος των , . Άρα .
Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα .
Κατά τα γνωστά έχει εξίσωση: .
Άρα

γ) Είναι από τα προηγούμενα .
Άρα

δ) Εντός φακέλου μπορούμε να πούμε τα εξής: Καθώς το αυξάνει το κλάσμα στην απόλυτη τιμή μικραίνει.
Συνεπώς το αυξάνει και μάλιστα όταν (λίγο εκτός φακέλου;) .
Άρα, διορθώνω κατόπιν υπόδειξης του KARKAR τον οποίο και ευχαριστώ, το εμβαδόν είναι πάντα μιρότερο από πάντα με την προϋπόθεση ότι το αυξάνει.

Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος