Μια απόδειξη του Θεωρήματος της "Πεταλούδας"

Συντονιστής: spyros

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 4770; Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm; Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Μια απόδειξη του Θεωρήματος της "Πεταλούδας"

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Φεβ 05, 2017 1:46 pm

Συνάδελφοι και φίλοι καλημέρα.

Θα ήθελα να μοιραστώ μαζί μια απόδειξη του Θεωρήματος της "Πεταλούδας" διαφορετική από αυτές που υπάρχουν (νομίζω 17 τον αριθμό αν δεν κάνω λάθος)

Θεώρημα της Πεταλούδας
Δίνεται εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) τετράπλευρο και ας είναι $S\equiv AC\cap BD$ .
Αν είναι τα σημεία τομής της στο καθέτου στην με τις αντίστοιχα , να δειχθεί ότι το μέσο της

Απόδειξη

: Απόδειξη του θεωρήματος της Πεταλούδας.png (31.96 KiB) Προβλήθηκε 1242 φορές

Έστω οι ορθές προβολές της στις αντίστοιχα και ας είναι $T\equiv AD\cap BC$ . Με $OS\bot PQ$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem
θα ισχύει: $\dfrac{EM}{FN}=\dfrac{TQ}{TP}:\left( 1 \right)$ . Όμως είναι ομόλογα τμήματα των προφανώς ομοίων τριγώνων $\vartriangle SAD,\vartriangle SBC$ ( και τα ίχνη
των υψών και τα μέσα των ομολόγων πλευρών) και συνεπώς ο λόγος τουs θα ισούται με το λόγο των ομολόγων υψών τους δηλαδή $\dfrac{EM}{FN}=\dfrac{SE}{SF}:\left( 2 \right)$ . Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \dfrac{TQ}{TP}=\dfrac{SE}{SF}\Rightarrow TQ\cdot SF=TP\cdot SE\Rightarrow \left( TSQ \right)=\left( TSP \right)\Rightarrow S$ το μέσο της και το Θεώρημα της πεταλούδας έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Εκανα μια μικρή διόρθωση στα γράμματα. Στη θέση του σωστού

υπήρχε (ατυχώς) το

Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:

Θεώρημα-Πεταλούδας

Απόδειξη

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες