Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1.Έστω

ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (m,n)

θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}$

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2}$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί A,B,C,D

τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c

είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $\dfrac{4}{9}(A+B)(C+D)$ .

ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C'

σε κύκλο τέτοια ώστε η AA'

να είναι κάθετη στη

, η

να είναι κάθετη στη

, και η

είναι κάθετη στη

. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο

του κύκλου, και έστω ότι η DA'

τέμνει την ευθεία

στο

, η

τέμνει την ευθεία

στο

, και η $D{\textcolor{red}{C}}'$ τέμνει την ευθεία

στο

.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C''

και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού στην 4.

#2

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2}$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

Για $\displaystyle{x=y=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(0)=0\vee f(0)=1.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{f(0)=0,}$ για $\displaystyle{y=x}$ προκύπτει $\displaystyle{(f(x)-x)^2=0}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)\equiv x.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{f(0)=1}$ για $\displaystyle{y=x}$ προκύπτει $\displaystyle{(f(x)-x)^2=1}$ άρα

$\displaystyle{f(x)=x+1\vee f(x)=x-1}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ . (1)

Για $\displaystyle{y=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(x^2)=x^2+1,}$ ενώ για $\displaystyle{x=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(y^2)=f(y)^2-2y,}$ που λόγω της προηγούμενης δίνει $\displaystyle{f(y)^2=(y+1)^2.}$ .

Από την (1) προκύπτει $\displaystyle{f(x)=x+1.}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\equiv x\vee f(x)\equiv x+1}$ , που ικανοποιούν την αρχική και οι δύο.

JimNt. · #3

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}$

Η αρχική γίνεται $4m^2+4m-p^{n+1}-p+p^n+1=0$ , που έχει $\Delta=16(p^{n+1}+p-p^n)$ . Πρέπει $p^{n+1}+p-p^n=x^2$ $\Leftrightarrow$ $p(p^n+1-p^{n-1})=x^2$ . Για n>1

παίρνουμε $(p,p^n+1-p^{n-1})=1$ $\Rightarrow$ p=y^2

, άτοπο. Συνεπώς, n=1

. Αντικαθιστούμε και λύνουμε την δευτεροβάθμια που προκύπτει και δίνει την λύση $m=\frac{p-1}{2}$ . Συνεπώς, $\boxed{(m,n)=(\frac{p-1}{2},1)}$

mikemoke · #4

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}$

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2}$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $\dfrac{4}{9}(A+B)(C+D)$ .

ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

η

τέμνει την ευθεία

στο

. Υπαρχει λάθος

#5

mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος

Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας

mikemoke · #6

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC

#7

mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC

Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.

Είναι άλλο η ευθεία

κι άλλο η πλευρά

.

Η διατύπωση είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

mikemoke · #8

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC
Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.

Είναι άλλο η ευθεία κι άλλο η πλευρά .

Η διατύπωση είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#9

Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.

achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...

και η τέμνει την ευθεία στο .

....

Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το DA'

σε

, οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασα

mikemoke έγραψε:.....
achilleas έγραψε:....
και η τέμνει την ευθεία στο .
,....
....
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος

Πράγματι, το σωστό είναι DC'

. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος.

Ευχαριστώ πολύ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

mikemoke · #10

achilleas έγραψε:Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.

achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...

και η τέμνει την ευθεία στο .

....
Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το σε , οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασα

mikemoke έγραψε:.....
achilleas έγραψε:....
και η τέμνει την ευθεία στο .
,....
....
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθος
Πράγματι, το σωστό είναι .

Ευχαριστώ.

Αχιλλέας

Παρακαλώ

#11

mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ

Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

mikemoke · #12

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ
Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΛΥΣΗ:
Αρκεί να δείξουμε οτι BC,AB,AC

μεσοκάθετοι των A'H,C'H,B'H

αντίστοιχα. Aς αποδείξουμε την

με

$\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}$ ως εγγεγραμένες στο τόξο

έστω

σημείο τομής C'H

με

και

της

με

$\widehat{ABC}=\widehat{C'HA}$ αφού ANH

,

ορθογώνια τρίγωνα με $\widehat{A}$ κοινή
$\widehat{C'HA}=\widehat{A'HC}$ ως κατακορυφήν
Άρα τρίγωνα HMC

=

και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Ο λόγος που αρκεί αυτό είναι :
$\widehat{DA'C}=\widehat{CC'D}$ ως εγγεγραμένες στο τόξο

$\widehat{CC'D}=\widehat{C''HC'}$ λογω της μεσοκαθετότητας
και αρα και η κατακορυφήν της $\widehat{C''HC'}$ θα ναι ίση με $\widehat{DA'C}$
Άρα C''H

,

συντρέχουν στο A''

και ετσι αποδείξαμε ότι C'',H,A''

συνευθειακά. Oμοιώς αποδεικνύεται και για H,A'' ,B''

#13

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $\dfrac{4}{9}(A+B)(C+D)$ .

Εφόσον η σχέση ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές των δύο πολυωνύμων είναι ίσοι. Δηλαδή

a = AC, b = AD+BC

και

.

Ας γράψουμε t = (A+B)(C+D)

. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $t \geqslant 0$ . (Σε διαφορετική περίπτωση αλλάζουμε τα πρόσημα των A,B,C,D

.) Έχουμε

. Θέτω

και $p = ac \leqslant b^2/4$ . Η τελευταία ανισότητα προκύπτει επειδή το ax^2+bx+c

έχει πραγματικές λύσεις οπότε η διακρίνουσά του είναι μη αρνητική.

Ας υποθέσουμε a,c < 4t/9

. Τότε

$\displaystyle{ \frac{4t}{9} > \max{\{a,c\}} = \frac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2} \geqslant \frac{t-b + \sqrt{t^2-2tb}}{2}}$

Οπότε

$\displaystyle{ b - \frac{t}{9} > \sqrt{t^2-2tb}}$ .

Πρέπει λοιπόν $b > \frac{t}{9} \geqslant 0$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

$\displaystyle{ 81b^2 - 18bt + t^2 > 81t^2 - 162tb}$

ή ισοδύναμα

(9b+8t)^2 > 144t^2

.

Αυτό δίνει b > 4t/9

, οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μέλη σε σύνδεση