Η παγίδα του Zorn

[Γιάννης Ι.]

Έστω υπερβατικός. Ας παρατηρήσουμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου είναι αριθμήσιμο. Σε αυτό το σημείο, θέλουμε να κατασκευάσουμε με το λήμμα του Zorn ένα μέγιστο στοιχείο του . Θεωρούμε μια μη κενή αλυσίδα του . Εφόσον το περιέχει μόνο αριθμήσιμα στοιχεία, αυτή η αλυσίδα έχει "μήκος" αριθμήσιμο, οπότε η ένωση όλων των στοιχείων της ανήκει στο (όντας αριθμήσιμη). Άρα κάθε μη κενή αλυσίδα του επιδέχεται ένα άνω φράγμα στο . Από το λήμμα του Zorn το σύνολο έχει ένα μέγιστο στοιχείο, έστω . Όμως, οι υπερβατικοί στο είναι υπεραριθμήσιμοι, οπότε διαλέγοντας έναν υπερβατικό και θεωρώντας την επέκταση αποδεικνύουμε ότι το δεν είναι μέγιστο στο .

Ιδού η παγίδα του λήμματος του Zorn, που είναι το λάθος;

[nsmavrogiannis]

Αν κατάλαβα καλά κάθε στοιχείο του προκύπτει από το σώμα αν το επεκτείνουμε προσαρτώντας μια ακολουθία υπερβατικών αριθμών. Οπότε κάθε τέτοιο σώμα είναι αριθμήσιμο. Αλλά το πλήθος των στοιχείων του δεν είναι αριθμήσιμο διότι οι υπερβατικοί δεν είναι. Επομένως και μία αλυσίδα δεν είναι κατ΄ανάγκην αριθμήσιμη.
Μαυρογιάννης

[Γιάννης Ι.]

Όντως, παρότι το σύνολο (που δεν είναι αριθμήσιμο) περιέχει MONO αριθμήσιμα στοιχεία, χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής μπορούμε να κατασκευάσουμε μία υπεραριθμήσιμη αλυσίδα στο .