Δύναμη του Φ

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας . Μια σύνθεση ..όχι χωρίς αφορμή..

: 13-3-17 Παιχνίδι με τις δυνάμεις του Φ.PNG (7.34 KiB) Προβλήθηκε 1289 φορές

Στο σχήμα έχουμε $A\widehat{O}B=90^{0}...OA=OB=R$ . Από το σημείο

του τεταρτοκυκλίου φέρουμε $GT\perp OB$ .

Θεωρούμε και το

επί του τόξου

έτσι ώστε το AETO

να είναι εγγράψιμο .Οι AE,GT

τέμνονται στο

.

Αν ισχύει $AE= \Phi ^{3}\cdot EH$ , όπου $\Phi$ ο γνωστός χρυσός αριθμός και δοθεί ET= 1

τότε

Να υπολογιστεί η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Xαιρετώ .
Ας επαναφέρω το θέμα με σκοπό την ..τακτοποίησή του..

: 3-4-17 ..R , Δύναμη του Φ.PNG (7.11 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

..θέτοντας ένα ακόμη ζητούμενο : Να δειχθεί ότι ισχύει : $\dfrac{AT}{ET}=\dfrac{AH}{EH}$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας . Μια σύνθεση ..όχι χωρίς αφορμή..
13-3-17 Παιχνίδι με τις δυνάμεις του Φ.PNG
Στο σχήμα έχουμε $A\widehat{O}B=90^{0}...OA=OB=R$ . Από το σημείο του τεταρτοκυκλίου φέρουμε $GT\perp OB$ .

Θεωρούμε και το επί του τόξου έτσι ώστε το να είναι εγγράψιμο .Οι τέμνονται στο .

Αν ισχύει $AE= \Phi ^{3}\cdot EH$ , όπου $\Phi$ ο γνωστός χρυσός αριθμός και δοθεί τότε

Να υπολογιστεί η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!

Οι παραπομπές εδώ(#9) ήταν καταλυτικές. Πράγματι από αυτή την άσκηση, η

είναι διχοτόμος της $A\widehat TE.$

: Δύναμη του Φ.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

$\displaystyle{\frac{{AT}}{{ET}} = \frac{{AH}}{{EH}} \Leftrightarrow AT + 1 = \frac{{AE}}{{EH}} \Leftrightarrow AT = {\Phi ^3} - 1 = \sqrt 5 + 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{AT = 2\Phi }$ (1)

(που απαντά στο β) ερώτημα).

Με Πυθαγόρειο στο τρίγωνο AET

βρίσκω ότι $\boxed{EA = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }$ και με θεώρημα Πτολεμαίου στο OAET:

$\displaystyle{R + OT \cdot EA = R(\sqrt 5 + 1) \Leftrightarrow O{T^2} = \frac{{5{R^2}}}{{5 + 2\sqrt 5 }} = A{T^2} - {R^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{R = {\Phi ^2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Xαιρετώ όλους !Γιώργο , πολύχρονος και πάντοτε δημιουργικός !
Σ' ευχαριστώ θερμά για την τακτοποίηση και αυτού του θέματος. Μια παραλλαγή στο τελευταίο μέρος της άσκησης :

: 23-4-17 R , Δύναμη του Φ.PNG (7.65 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Είναι

διχοτόμος της $A\widehat{T}E$ και $AT=2\Phi$ .Έχουμε $\sigma \upsilon \nu A\widehat{T}E=\dfrac{1}{2\Phi }=\sigma \upsilon \nu 72^{0}$

συνεπώς $A\widehat{T}E=72^{0}$ οπότε $O\widehat{A}T=A\widehat{T}H=36^{0}$ .

Στο ορθ. $\triangleleft OTA$ : $\sigma \upsilon \nu 36^{0}=\dfrac{OA}{AT}$ ή $\dfrac{\Phi }{2}=\dfrac{R}{2\Phi }\Leftrightarrow R=\Phi ^{2}$ .

Φιλικά , Γιώργος .

Δύναμη του Φ

Δύναμη του Φ

Re: Δύναμη του Φ

Re: Δύναμη του Φ

Re: Δύναμη του Φ

Μέλη σε σύνδεση