Ανισότητες σε τραπέζιο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA177 Ανισότητες σε τραπέζιο.png (31.93 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Σε τραπέζιο ABCD

με $AB \parallel DC$ , τρία ευθ. τμήματα έχουν τα άκρα τους στα ίσα σκέλη του τραπεζίου και είναι παράλληλα προς τις βάσεις του.

Το

είναι το μεσοπαράλληλο τμήμα των βάσεων και

το τμήμα που διέρχεται από το σημείο τομής

των διαγωνίων του.

1. Κατασκευάστε (γεωμετρικά) το τρίτο τμήμα

, αν

διχοτομεί τη γωνία $\hat{ATD}$

2. Δείξτε οτι ο περίκυκλος του ATD

εφάπτεται της

3. Δείξτε ότι $ST^2=AB \cdot DC$

4. Χρησιμοποιήστε το 3. για να αποδείξετε ότι $MN \ge ST \ge KL$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα ! Γεια σου Σάκη , τους χαιρ/μούς μου σε όλους στο Κιάτο !
Ας αρχίσουμε με τα 2ο και 3ο ζητούμενα :

: 29-3-17 ανισότητες.PNG (9.82 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

2) Από τις ισότητες των γωνιών παίρνουμε $A\widehat{D}T=A\widehat{T}B=x$ άρα

εφάπτεται στον περίκυκλο του ADT

.

3) Γίνεται φανερό ότι τα τρίγωνα με το ίδιο χρώμα είναι όμοια. Τότε $\dfrac{ST}{DC}=\dfrac{AS}{TC}...\dfrac{AB}{ST}=\dfrac{BT}{DS}$ , προκύπτει $\dfrac{ST}{DC}=\dfrac{AB}{ST}\Leftrightarrow ST^{2}=AB\cdot DC$

1) Η κατασκευή έρχεται τώρα ως ..παραγγελία από την τελευταία σχέση (μέση ανάλογος )

: 28-3-17 Σ.Κ Ανισότητες σε τραπέζιο.PNG (7.61 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Όπου στο σχήμα έχουμε $BE=DC...BZ\perp AE...CH=BZ...HS\parallel TC...ST\parallel DC$

συνεπώς $ST=HC=BZ\Rightarrow ST^{2}=AB\cdot BE=AB\cdot CD$ .

4) Θέτουμε AB=a ...CD=d

. Τότε $MN=\dfrac{a+d}{2}..ST=\sqrt{ad}$ και ας θεωρήσουμε γνωστό $KL=\dfrac{2ad}{a+d}$ .
Από τη σχέση των Αριθμητικού , Γεωμετρικού και Αρμονικού μέσου έχουμε MN> ST> KL

, αφού εδώ λόγω τραπεζίου ισχύει $a\neq d$ .

Φιλικά Γιώργος

Ανισότητες σε τραπέζιο

Ανισότητες σε τραπέζιο

Re: Ανισότητες σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση