Κατανομή Φρούτων!

JimNt. · #1

Έχουμε

μήλα,

αχλάδια και

πορτοκάλια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να δώσουμε

φρούτα σε

παιδιά; (Έχει σημασία το είδος φρούτου) Για μαθητές.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Δίνουμε

φρούτα στο κάθε παιδί ξεχωριστά ή συνολικά;

JimNt. · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δίνουμε φρούτα στο κάθε παιδί ξεχωριστά ή συνολικά;

Συνολικά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Έστω πως

είναι το πλήθος των μήλων που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα, c, d

είναι το πλήθος των αχλαδιών που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα και e, f

πλήθος των πορτοκαλιών που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα.

Τότε το πλήθος των μοιρασιών είναι ίσο με το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης:

a+b+c+d+e+f=9

, με την προϋπόθεση πως $a+b\leq 6, c+d\leq 6, e+f\leq 6$ .

Χωρίς περιορισμούς η εξίσωση έχει $\displaystyle{\binom{9+6-1}{9}=\binom{14}{9}=2002}$ μη αρνητικές λύσεις. Θα αφαιρέσουμε τις άκυρες:

Συγκεκριμένα θα βρούμε αρχικά το πλήθος λύσεων της εξίσωσης:

a+b+c+d+e+f=9

, με την προϋπόθεση πως $7 \leq a+b\leq 9$ (1).

Παίρνουμε περιπτώσεις

:

Αν

τότε το πλήθος λύσεων είναι ίσο με το γινόμενο του πλήθους των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης a+b=7

με το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της c+d+e+f=2

, δηλαδή $8\cdot 10=80$ .

Όμοια αν a+b=8

έχουμε

λύσεις και αν a+b=9

έχουμε

λύσεις.

Συνολικά το πλήθος λύσεων της (1) είναι 80+36+10=126

.

Όμοια το πλήθος λύσεων της εξίσωσης a+b+c+d+e+f=9

, με $7 \leq c+d\leq 9$ και της a+b+c+d+e+f=9

, με $7 \leq e+f\leq 9$ είναι 126

και

.

Αφού δεν γίνεται να ισχύουν ταυτόχρονα δύο ή και τρεις από τις συνθήκες $a+b\geq 7$ , $c+d\geq 7$ και $e+f\geq 7$ , έχουμε με PIE πως το πλήθος λύσεων της αρχικής εξίσωσης είναι:

$2002-3\cdot 126=1624$

JimNt. · #5

Ακριβώς!

harrisp · #6

Υπάρχει λύση με Γεννήτριες ;

#7

Υπάρχει αλλά όχι τόσο απλή:

Η γεννήτρια συνάρτηση της κατανομής των μήλων είναι η f(x) = 1+2x+3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6

αφού για $n \in \{0,1,\ldots,6\}$ υπάρχουν n+1

τρόποι να δώσουμε

μήλα στα δύο παιδιά.

Παρατηρούμε επίσης ότι

$\displaystyle{ f(x) = (1+x+\cdots + x^7)' = \left(\frac{1-x^8}{1-x} \right)' = -\frac{8x^7}{1-x} + \frac{1-x^8}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} (1-8x^7 + 7x^8)}$

Μας ενδιαφέρει ο συντελεστής του x^9

στην δυναμοσειρά του $\displaystyle{ f(x)^3 = \frac{(1-8x^7+7x^8)^3}{(1-x)^6}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα είναι $\displaystyle{(1-x)^{-6} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{-6}{n} x^n= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-6)(-7) \cdots (-n-5)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{n+5}{5} x^n}$

Επίσης (1-8x^7 + 7x^8)^3 = 1 - 24x^7 + 21x^8 + g(x)

όπου όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στο g(x)

είναι μεγαλύτερες του

.

Άρα ο συντελεστής του x^9

στο ανάπτυγμα του f(x)^3

ισούται με

$\displaystyle{ \binom{14}{5} - 24\binom{7}{2} + 21\binom{6}{1} = 2002 - 504 + 126 = 1624.}$

harrisp · #8

Demetres έγραψε:Υπάρχει αλλά όχι τόσο απλή:

Η γεννήτρια συνάρτηση της κατανομής των μήλων είναι η αφού για $n \in \{0,1,\ldots,6\}$ υπάρχουν τρόποι να δώσουμε μήλα στα δύο παιδιά.

Παρατηρούμε επίσης ότι

$\displaystyle{ f(x) = (1+x+\cdots + x^7)' = \left(\frac{1-x^8}{1-x} \right)' = -\frac{8x^7}{1-x} + \frac{1-x^8}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} (1-8x^7 + 7x^8)}$

Μας ενδιαφέρει ο συντελεστής του στην δυναμοσειρά του $\displaystyle{ f(x)^3 = \frac{(1-8x^7+7x^8)^3}{(1-x)^6}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα είναι $\displaystyle{(1-x)^{-6} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{-6}{n} x^n= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-6)(-7) \cdots (-n-5)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{n+5}{5} x^n}$

Επίσης όπου όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στο είναι μεγαλύτερες του .

Άρα ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα του ισούται με

$\displaystyle{ \binom{14}{5} - 24\binom{7}{2} + 21\binom{6}{1} = 2002 - 504 + 126 = 1624.}$

Σας ευχαριστώ πολυ !

Κατανομή Φρούτων!

Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Re: Κατανομή Φρούτων!

Μέλη σε σύνδεση