2 σε 1!

JimNt. · #1

Αν $a,b,c \in \mathbb{R^{+}}$ να δείξετε ότι:

$\dfrac{a(a+b+c)^2}{(a+2b)^2(a+2c)^2}+\dfrac{b(a+b+c)^2}{(b+2a)^2(b+2c)^2}+\dfrac{c(a+b+c)^2}{(c+2b)^2(c+2a)^2} \ge \dfrac{1}{a+b+c}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

$\dfrac{a}{(a+2b)(a+2c)}+\dfrac{b}{(b+2c)(b+2a)}+\dfrac{c}{(c+2b)(c+2a)} \le \dfrac{a+b+c}{3(ab+bc+ca)}$ Για μαθητές.

min## · #2

Α.Πολλαπλασιάζοντας με a,b,c το πρώτο,δεύτερο και τρίτο κλάσμα αντίστοιχα(αριθμητή-παρονομαστή) και έπειτα από Andreescu φτάνουμε στην: $\sum a\left ( a+2b \right )^{2}\left ( a+2c \right )^{2}\leq (a+b+c)^{5}$ ...Tώρα από τη γνωστή xy $\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$ παίρνουμε $\sum$
$\sum a(a+2b)^{2}(a+2c)^{2}\leq \sum a(a+b+c)^{4}$ ...

thrassos · #3

Μία λύση για το Α.
Παρατηρούμε ότι η ανισότητα είναι ομογενής, γεγονός που μας επιτρέπει να θέσουμε a+b+c=1

.
'Ετσι, χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνθήκη παίρνουμε ότι η αρχική είναι ισοδύναμη με $\sum \frac{a}{(1-(b-c)^2)^2} \geq 1$ ή ισοδύναμα
$\sum \frac{a^2}{(1-(b-c)^2)^2 a} \geq 1$ .Τώρα, εφαρμόζοντας ANDREESCU στην τελευταία θα καταλήξουμε στο ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι
$\sum (1-(b-c)^2)^2a\leq 1$ ή ισοδύναμα $\sum a-2a(b-c)^2 +(b-c)^4a\leq 1$ ,γεγονός που έπεται άμεσα. Η ισότητα ισχύει για a=b=c=1/3

.

Φιλικά,
Θράσος

2 σε 1!

2 σε 1!

Re: 2 σε 1!

Re: 2 σε 1!

Μέλη σε σύνδεση