Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 111.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 3047 φορές

Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ , υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Προφανώς,

, οπότε

.

Φέρνουμε $DE \perp AC$ .

Από τα ίσα $ADB, \, ADE$ παίρνουμε DB=DE

.

Από Θ. Διχοτόμου $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{BD}{a}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}}{b}$ , άρα $DB=DE=\dfrac{(a+b)a}{2b}$ .

Ακόμη, $AE=AB=\dfrac{a+b}{2}$ , και αφού AC=b

, $EC=\dfrac{b-a}{2}$ .

Από Π.Θ., $DC^2=DE^2+EC^2 \Leftrightarrow a^2=(\dfrac{(a+b)a}{2b})^2+(\dfrac{a-b}{2})^2$

$\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow a^3+a^2b+b^3=3ab^2 \Leftrightarrow (\dfrac{a}{b})^3+(\dfrac{a}{b})^2+1=3\dfrac{a}{b}$ , και με $\dfrac{a}{b}=t<1$ , $t^3+t^2+1=3t \Leftrightarrow (t-1)(t^2+2t-1)=0$ , οπότε $t=\sqrt{2}-1$ .

Έτσι, $a=b(\sqrt{2}-1)$ .

Τελικά, $\sin \widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a+b}{2b}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , οπότε $\widehat{B}=\widehat{C}=45^0$ .

Προφανές ότι $\theta=\dfrac{45^0}{2}$ .

: ORESTIS3.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 2999 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ , υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

Από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε: $\dfrac{{BD}}{a} = \dfrac{{\dfrac{{a + b}}{2}}}{b} \Rightarrow \boxed{BD = \dfrac{{a\left( {a + b} \right)}}{{2b}}}:\left( 1 \right)$

Αν $DE \bot AC\left( {E \in AC} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AD\;\Delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma } DE = BD = \dfrac{{a\left( {a + b} \right)}}{{2b}}$ και $AE = AB = \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow EC = b - \dfrac{{a + b}}{2} = \dfrac{{b - a}}{2}$ .

Εφαρμόζοντας το Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle DEC\left( \angle E={{90}^{0}} \right)$ θα έχουμε:

${a^2}\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{b^2}}} + \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow$ $\dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = {a^2}\left[ {1 - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{b^2}}}} \right] \Leftrightarrow$ $\dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}\left( {b - a} \right)\left( {a + 3b} \right)}}{{4{b^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{:\left( {b - a} \right) > 0,\alpha \varphi o\upsilon \;b > \dfrac{{a + b}}{2}}$

$b\left( {b - a} \right) = {a^3} + 3{a^2}b \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b = 0$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{:{b^3}} \boxed{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^3} + 3{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2} + \left( {\dfrac{a}{b}} \right) - 1 = 0}:\left( 1 \right)$ .

Θέτουμε $\left( \dfrac{a}{b} \right)=k$ και έχουμε για το πολυώνυμο $f\left( k \right) = {k^3} + 3{k^2} + k - 1\mathop = \limits^{\pi \rho o\varphi \alpha \nu \eta \;\rho \iota \zeta \alpha \;k = - 1} \left( {k + 1} \right)\left( {m{k^2} + nk + l} \right)$

$= m{k^3} + \left( {m + n} \right){k^2} + \left( {l + n} \right)k + l \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m + n = 3 \hfill \\ l + n = 1 \hfill \\ l = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ n = 2 \hfill \\ l + n = 1 \hfill \\ l = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Έτσι η εξίσωση $\left( 1 \right)$ γίνεται ισοδύναμα $\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k - 1} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{k > 0} k = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{2}$ $= \sqrt 2 - 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow$ $\boxed{AB = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{BC\sqrt 2 }}{2}}$

Οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές και άρα $\boxed{\angle \theta = {{22,5}^0}}$

Στάθης

Φαίνεται να "τρέχουν" γρηγορότερα οι "μικροί"

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ , υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

$\displaystyle{EC = b - \frac{{a + b}}{2} = \frac{{b - a}}{2}}$ και με $\displaystyle{CZ = DC = a}$ $\displaystyle{ \Rightarrow EZ = EA = AB = \frac{{a + b}}{2}}$ άρα $\displaystyle{\angle CDZ = \angle CZD = \theta \Rightarrow \angle ACB = 2\theta }$

Έτσι $\displaystyle{4\theta = {90^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{22.5}^0}}}$

: ot15.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 2982 φορές

dement · #5

Και μία τριγωνομετρική:

Από το τρίγωνο $\triangle{A \Delta \Gamma}$ έχουμε $\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$ από νόμο ημιτόνων, ενώ από το $\triangle{AB \Gamma}$ έχουμε $\displaystyle \cos 2 \theta = \frac{a+b}{2b}$ .

Έτσι, $2 \cos 2 \theta = \tan \theta + 1 \implies 2 \cos 2 \theta \cos \theta = \cos \theta + \cos 3 \theta = \sin \theta + \cos \theta \implies$

$\displaystyle \implies \sin \theta = \cos 3 \theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 3 \theta \right) \implies \theta = \frac{\pi}{8}$

Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Μέλη σε σύνδεση