Διερεύνηση συστήματος

kospa · #1

Καλησπέρα, έχω κολλήσει στο παρακάτω πρόβλημα: Να βρεθούν οι τιμές του

για τις οποίες το σύστημα είναι αόριστο.
$\left\{\begin{matrix} ax + ay + z = 0\\ -2x + ay - z = 0\\ x + y + az = 0\\ \end{matrix}\right.$
Αυτό που πιστεύω πως πρέπει να κάνω είναι να βρω την ορίζουσα δηλαδή:
$\det =\begin{vmatrix} a & a & 1\\ -2 & a & -1\\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(-1)^2\begin{vmatrix} a&-1 \\ 1& a \end{vmatrix}+a(-1)^3\begin{vmatrix} -2 &-1 \\ 1 & a \end{vmatrix}+1(-1)^4\begin{vmatrix} -2 &a \\ 1& 1 \end{vmatrix}\\=a^3+2a^2-a-2=0\\ x1 = 1\\ x2 = -1\\ x3 = -2$
Από εδώ και μετά πρέπει υποθέτω πως πρέπει να πω α) Αν $a\neq-1$ και $a\neq -2\Rightarrow D \neq 0$ , να βρω τα Dx, Dy, Dz

. Αυτά που βρίσκω είναι:

$\\Dx = a^2-2a-3=0\\ Dy = -a^2 - a = 0\\ Dz = 0$
Έχω κάνει κάτι λάθος ή έτσι λύνεται το θέμα. Είμαι κάπως χαμένος.

Ευχαριστώ
Κ.

#2

Κατ' αρχήν καλώς όρισες στο mathematica.gr.

1) Η εξίσωση $\det {A}=0\quad\Leftrightarrow \quad a^3+2a^2-a-2=0$ έχει ρίζες τις a=-2

,

.

2) Επομένως για $a\in{\mathbb{R}\setminus\{-2,-1,1\}$ , η ορίζουσα του πίνακα είναι μη-μηδενική και το αντίστοιχο (ομογενές) σύστημα έχει ακριβώς μια λύση (την μηδενική). Δηλαδή δεν είναι αόριστο.

3) Οι μοναδικές τιμές του

για τις οποίες το σύστημα θα μπορούσε να είναι αόριστο (να έχει άπειρες λύσεις) είναι a=-2

,

.

4) Για κάθε μια από τις παραπάνω τιμές του

το σύστημα παίρνει μια αντίστοιχη μορφή και τα Dx,Dy,Dz

είναι αριθμοί.
Αν Dx=Dy=Dz=0

, τότε το σύστημα είναι αόριστο.

kospa · #3

Ευχαριστώ πολύ grigkost

Διερεύνηση συστήματος

Διερεύνηση συστήματος

Re: Διερεύνηση συστήματος

Re: Διερεύνηση συστήματος

Μέλη σε σύνδεση