Ρίζες μιας... εξίσωσης

Συντονιστής: stranton

maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Ρίζες μιας... εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Παρ Ιουν 23, 2017 8:03 pm

Έστω η (με άγνωστο τον x) εξίσωση :

x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge ) ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 ,

ενώ για τον αριθμό \lambda είναι γνωστό ότι \lambda\in A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1   \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ].

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιουν 23, 2017 8:47 pm

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον x) εξίσωση :

x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge ) ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 ,

ενώ για τον αριθμό \lambda είναι γνωστό ότι \lambda\in A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1   \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ].

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .
Χαιρετώ τον Μιχάλη και κάνω μια προσπάθεια. Επειδή βρέθηκα σε χωράφια ξένα της Α΄ Λυκείου φοβάμαι μήπως έχω κάποιο λάθος.

Η εξίσωση \displaystyle {x^2} + ({\lambda ^3} + 2)x + 2{\lambda ^2} + 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right) έχει διακρίνουσα
\displaystyle D = {\left( {{\lambda ^3} + 2} \right)^2} - 4\left( {2{\lambda ^2} + 1} \right)

Για να έχει η (1) διπλή ρίζα πρέπει και αρκεί

\displaystyle D = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^6} + 4{\lambda ^3} - 8{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}\left( {{\lambda ^4} + 4\lambda  - 8} \right) = 0 (2)

Αφού \displaystyle \lambda  \in {\rm A} η (2) γίνεται \displaystyle {\lambda ^4} + 4\lambda  - 8 = 0 .

Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα \displaystyle \lambda  =  - 2 , που απορρίπτεται αφού δεν ανήκει στο A.

Με διαίρεση πολυωνύμων (ύλη Γ΄ Γυμνασίου) ή έστω με σχήμα Horner η εξίσωση (με τιμές στο A) γίνεται \displaystyle \left( {\lambda  + 2} \right)\left( {{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0 .

Μελετάμε τη συνάρτηση \displaystyle f\left( \lambda  \right) = {\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 με \displaystyle \lambda  \in IR .

Έχει παράγωγο \displaystyle f'\left( \lambda  \right) = 3{\lambda ^2} - 4\lambda  + 4 > 0 για κάθε \displaystyle \lambda  \in IR άρα η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα. Είναι \displaystyle f\left( 1 \right) =  - 1 < 0 και \displaystyle f\left( 2 \right) = 4 > 0 , άρα, αφού είναι συνεχής στο [1,2], από Θ. Bolzano, έχει μια ρίζα στο (1, 2), που δεν ανήκει στο A, άρα η αρχική εξίσωση δεν μπορεί να έχει διπλή ρίζα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 23, 2017 11:34 pm

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον x) εξίσωση :

x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge ) ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 ,

ενώ για τον αριθμό \lambda είναι γνωστό ότι \lambda\in A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1   \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ].

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .
Καλησπέρα σε όλους!

Δεν είμαι σίγουρος ότι έχω καταλάβει καλά. Έχω πάντως την εντύπωση ότι με τον όρο ακριβώς μία ρίζα, δεν εννοούμε διπλή ρίζα. Αν ισχύει αυτό, τότε μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει ακριβώς μία ρίζα όταν μπορεί να γίνει πρωτοβάθμια. Στην περίπτωσή μας η εξίσωση δεν είναι πρωτοβάθμια αφού ο συντελεστής του x^2 είναι η μονάδα. Η μόνη περίπτωση λοιπόν, είναι η εξίσωση να έχει δύο ρίζες εκ των οποίων η μία να είναι -1 ή 1 που απορρίπτονται.

Αν ο συλλογισμός μου είναι σωστός, βρίσκω για \lambda=2, \boxed{x=-9}

Από τα διαστήματα που δίνονται για το \lambda, η διακρίνουσα \displaystyle{\Delta  = (\lambda  + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4)} είναι θετική μόνο στο \displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}

Αν x=1, η εξίσωση γράφεται \displaystyle{{\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} + 4 = 0} που είναι άτοπο αφού \displaystyle{\lambda  \in \left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}

Αν x=-1, τότε προκύπτει ότι \lambda =2 και εύκολα βρίσκουμε ότι \boxed{x=-9}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 24, 2017 12:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 24, 2017 12:04 am

αυτό Κάτι παρεμφερές αλλά πιο απλό .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιουν 24, 2017 10:46 am

Καλημέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον Μιχάλη για τη διακριτική υπόδειξη με π.μ.

Αφήνω όπως είναι την ανάρτησή μου για διδακτικούς λόγους.

Το σημείο που με προβλημάτισε κυρίως ήταν ότι χρειάστηκε να χρησιμοποιήσω θεωρήματα της Γ΄ Λυκείου για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης (2). Καταλαβαίνοντας ότι έχω βγει εκτός ορίων της Α΄ Λυκείου, σταμάτησα.

Φαντάζομαι ότι ο Γιώργος συνέχισε την άσκηση από το σημείο όπου απορρίφθηκε η διπλή ρίζα.
george visvikis έγραψε: Από τα διαστήματα που δίνονται για το \lambda, η διακρίνουσα \displaystyle{\Delta  = (\lambda  + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4)} είναι θετική μόνο στο \displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}
Πάντως, θα χαρώ να δω τόσο την επίλυση της εξίσωσης (2) όσο και το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Σάβ Ιουν 24, 2017 11:03 am

Καλημέρα σε όλους!
Φαίνεται ότι η εκφώνηση της άσκησης ,δυσκόλεψε και δεν βοήθησε όσο ίσως έπρεπε, όσους ασχολήθηκαν με αυτήν.Οπότε ίσως (ίσως και όχι..) να είναι κάποια αδυναμία της ίδιας και καλό είναι να διατυπωθούν από κάποιους,αν το επιθυμούν, κάποιες βελτιώσεις της.
Επίσης θέλω να πω πως δεν ξέρω αν έχω τοποθετήσει την άσκηση, η οποία σίγουρα έχει αρκετές απαιτήσεις, στο σωστό φάκελο, οπότε αν έχω κάνει λάθος, θα παρακαλούσα τους υπεύθυνους να την μεταφέρουν εκεί που ανήκει .
Τελειώνοντας να πω ότι η έχω λύση για την άσκηση η οποία χρησιμοποιεί μόνο ύλη Άλγεβρας Α λυκείου, την οποία αν καταστεί απαραίτητο θα δώσω .


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 24, 2017 11:11 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
george visvikis έγραψε: Από τα διαστήματα που δίνονται για το \lambda, η διακρίνουσα \displaystyle{\Delta  = (\lambda  + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4)} είναι θετική μόνο στο \displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}
Πάντως, θα χαρώ να δω τόσο την επίλυση της εξίσωσης (2) όσο και το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.
Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση δεν λύνεται με ύλη Α' Λυκείου. Κατέληξα στη μορφή \displaystyle{\Delta  = (\lambda  + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4)} χρησιμοποιώντας Horner και

στη συνέχεια αφού \lambda+2>0 εξέτασα το πρόσημο του \lambda ^3 - 2\lambda ^2 + 4\lambda  - 4 στα διαστήματα που έδινε. Προηγουμένως όμως είχα

διαπιστώσει ότι λόγω μονοτονίας είχε μόνο μία πραγματική ρίζα στο (1, 2) (με τρόπο εκτός ύλης).


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Σάβ Ιουν 24, 2017 11:28 am

Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την (2) είναι \lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow
\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0 η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 24, 2017 11:49 am

maiksoul έγραψε:Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την (2) είναι \lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow
\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0 η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.
Καλημέρα Μιχάλη!

Έστω ότι η εξίσωση \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0} έχει μία θετική ρίζα.

Δεν μπορεί όμως να είναι \displaystyle{\lambda  > 2} γιατί \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = {\lambda ^2}(\lambda  - 2) + 4(\lambda  - 1) > 0}

Δεν μπορεί να είναι ούτε \displaystyle{\lambda  < 1} γιατί \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}(\lambda  - 1) + 4(\lambda  - 1) = {\lambda ^2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{({\lambda ^2} + 4)(\lambda  - 1) = {\lambda ^2} > 0 \Leftrightarrow \lambda  > 1}, που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο A.


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Σάβ Ιουν 24, 2017 11:54 am

george visvikis έγραψε:
maiksoul έγραψε:Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την (2) είναι \lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow
\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0 η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.
Καλημέρα Μιχάλη!

Έστω ότι η εξίσωση \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0} έχει μία θετική ρίζα.

Δεν μπορεί όμως να είναι \displaystyle{\lambda  > 2} γιατί \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = {\lambda ^2}(\lambda  - 2) + 4(\lambda  - 1) > 0}

Δεν μπορεί να είναι ούτε \displaystyle{\lambda  < 1} γιατί \displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}(\lambda  - 1) + 4(\lambda  - 1) = {\lambda ^2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{({\lambda ^2} + 4)(\lambda  - 1) = {\lambda ^2} > 0 \Leftrightarrow \lambda  > 1}, που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο A.
Καλημέρα Γιώργο , ναι αυτή είναι μια από τις λύσεις!


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιουν 24, 2017 4:21 pm

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον x) εξίσωση :

x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge ) ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 ,

ενώ για τον αριθμό \lambda είναι γνωστό ότι \lambda\in A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1   \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ].

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .
Με ύλη Α΄Λυκείου.

Αν x_1,x_2 οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι: x_1+x_2=-\lambda ^3-2 και x_1x_2=2\lambda ^2+1>0.

Αφού \lambda\in A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1   \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ] άρα \lambda \geq -1\Rightarrow -\lambda ^3-2\leq -1<0.

Αφού οι ρίζες x_1,x_2 έχουν αρνητικό άθροισμα και θετικό γινόμενο θα είναι και οι δύο αρνητικές,
οπότε: x_1=-1 και έτσι, x_2=-2\lambda ^{2}-1.

Από x_1+x_2=-\lambda ^3-2  \Leftrightarrow (-2\lambda ^{2}-1)+(-1)=-\lambda ^3-2\Leftrightarrow \lambda ^3-2\lambda ^2=0\Leftrightarrow \lambda=2 ή \lambda=0.
Η τιμή \lambda=0 απορρίπτεται λόγω περιορισμών ενώ η τιμή \lambda=2 είναι δεκτή \left (\Delta =64>0 \right ).

Συνεπώς, ρίζες της εξίσωσης είναι οι: x_1=-1 και x_2=-9.


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Ιουν 25, 2017 11:03 am

Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 25, 2017 1:04 pm

Αν και έχουν γραφτεί παραπάνω, δίδω σύνοψη αυτών που ισχύουν ( και επί της ουσίας συμφωνώ )

Το τριώνυμο : f(x) = {x^2} + ({\lambda ^3} + 2)x + 2{\lambda ^2} + 1 παρουσιάζει ελάχιστο στο

\boxed{{x_0} =  - \frac{{{\lambda ^3} + 2}}{2}} το \boxed{f({x_0}) = \frac{{ - {\lambda ^2}}}{4} \cdot (\lambda  + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda  - 4)}.

Στα δύο πρώτα διαστήματα , f({x_0}) > 0 και άρα η εξίσωση : f(x) = 0 είναι αδύνατη
Sulanis.png
Sulanis.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 1189 φορές

Στο διάστημα τώρα \Delta  = [2,\dfrac{5}{2}] , f({x_0}) < 0 συνεπώς η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο

διακεκριμένες αρνητικές ρίζες . Η πιο μεγάλη ας την πούμε {x_1} \geqslant  - 1 και η πιο μικρή

{x_2} \leqslant  - 9 με το ίσον να πιάνεται αν \boxed{\lambda  = 2}.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Ιουν 25, 2017 5:28 pm

maiksoul έγραψε:Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .
Καλό απόγευμα Μιχάλη,

Μάλλον καθένας μας ερμηνεύει διαφορετικά το " ακριβώς μια λύση", το οποίο νομίζω ότι είναι διαφορετικό από το " δύο ρίζες ίσες" .

'Έτσι, αφού η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και έχουμε δεδομένο " έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 "
άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις και μάλιστα η άλλη λύση της είναι το -1 ή το 1.

Αν βέβαια λέγοντας " ακριβώς μια λύση" περιλάβουμε και την περίπτωση η δευτεροβάθμια εξίσωση να έχει δύο λύσεις ίσες,
μια λύση της άσκησης έχει δώσει ο Doloros στην προηγούμενη ανάρτηση.

Φιλικά, Νίκος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 25, 2017 6:02 pm

nikkru έγραψε:
maiksoul έγραψε:Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .
Καλό απόγευμα Μιχάλη,

Μάλλον καθένας μας ερμηνεύει διαφορετικά το " ακριβώς μια λύση", το οποίο νομίζω ότι είναι διαφορετικό από το " δύο ρίζες ίσες" .

'Έτσι, αφού η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και έχουμε δεδομένο " έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς -1 και 1 "
άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις και μάλιστα η άλλη λύση της είναι το -1 ή το 1.
Καλησπέρα σε όλους!

Έτσι ακριβώς το ερμηνεύω κι εγώ και το έγραψα πιο πάνω άλλωστε. Υπάρχει όμως γενικότερη διχογνωμία.

Μία σχετική συζήτηση έχει γίνει εδώ


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Ιούλ 02, 2017 8:39 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Πάντως, θα χαρώ να δω..... το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.
Είναι D=\lambda ^{2}(\lambda +2)(\lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4)

Για να μην μείνει αναπάντητο το ερώτημα ...του Γιώργου

Είναι σαφές ότι για τις αρνητικές τιμές τις παραμέτρου είναι D<0

ενώ για τις υπόλοιπες θετικές έχουμε ότι:

D=\lambda ^{2}(\lambda +2)(\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+\lambda ^{2}+3\lambda+ \lambda-4)

D=\lambda ^{2}(\lambda +2)[(\lambda -1)^{3}+\lambda ^{2}+\lambda -3]

Οπότε:

Αν \lambda<1 τότε D<\lambda ^{2}(\lambda +2)(0+1+1-3)<0

Αν \lambda>2 τότε D>\lambda ^{2}(\lambda +2)(1+2+2-3)>0


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες