C1
Έστω
το άθροισμα των αντιστρόφων των μη-μηδενικών ψηφίων όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του 
.Για παράδειγμα,
.Βρείτε τον μικρότερο ακέραιο
ώστε ο αριθμός 
να είναι ακέραιος. C2 Σε έναν πίνακα γράφουμε όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 50. Πόσους τουλάχιστον πρέπει να διαγράψουμε ώστε το άθροισμα κάθε δύο από τους υπόλοιπους να μην είναι πρώτος;
C3 Το πρόβλημα 4 του διαγωνισμού
C4 Μία διαμέριση ενός επίπεδου πολυγώνου είναι ένα πεπερασμένο σύνολο από τρίγωνα με ξένα ανά δύο εσωτερικά και των οποίων η ένωση είναι όλο το πολύγωνο. Δοθέντος
, να βρεθεί ο μεγαλύτερος 
λωστε να μην υπάρχει επίπεδο -γωνο που να διαμερίζεται σε λιγότερο από τρίγωνα. Σημείωση: Το πολύγωνο δεν είναι απαραίτητα κυρτό.
σε 50 υποσύνολα 
, με αθροίσματα 3 και 53. Αν διαγράφουμε 24 αριθμούς, τότε έχουμε 26 αριθμοί. Έτσι απο την αρχή της περιστεροφωλίας δύο απο τους αριθμους θα είναι στον ίδιο υποσύνολο και έτσι το άθροισμα τους θα είναι πρώτος. Τωρά αν διαγραφουμε 25 αρίθμοι, (ολοι οι περριτοί) τοτέ θα εχουμε άρτιους αριθμούς με άθρoισμα κάθε δυο απο αυτούς μεγαλύτερος του 2. Αρα η απάντηση είναι 25.
συμβολίζει ο πληθός του ψηφίου 
στο σύνολο 
. 
ψηφία 
στο σύνολο 
.
, αφού το πρώτο ψηφίο είναι σταθερό.
υπάρχει 
ψηφία "2", 
ψηφία "3", 
και 
,
, όπου 
, τότε 
(με λίγες πράξεις), ή 
είναι ακέραιος
, τότε 
είναι κλάσμα που δεν είναι ακέραιος (με λίγες πράξεις)
δεν παίζει κανένα ρόλο καθώς δεν επηρεάζει τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού. Οπότε θα κοιτάξουμε για τα υπόλοιπα ψηφία.
μέχρι το 
όλα τα ψηφία εμφανίζονται ίσες φορές εκτός από το 
).
"τριψήφιους" αριθμούς το πλήθος που εμφανίζεται το καθένα από τα 
ψηφία είναι 
το κάθε μη μηδενικό ψηφίο εμφανίζεται 
φορές.
μέχρι το 
έχουμε πως το 
φορές, τα ψηφία 
εμφανίζονται 
εμφανίζονται 
είναι ίδια με τα δεκαδικά ψηφία του: 
δεν παίζει ρόλο στα δεκαδικά ψηφία του 
, που είναι ανάγωγο κλάσμα. Επομένως ψάχνουμε το ελάχιστο 
και αυτό είναι το 
. Δηλαδή 
. Θα δείξουμε ότι 
τρίγωνα.
είναι προφανείς. Οι περιπτώσεις 
φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. (Με διακεκομμένες γραμμές φαίνονται οι πλευρές των τριγώνων που δεν ανήκουν στην περιφέρεια του πολυγώνου.)![\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.86,-0.48) rectangle (4.64,4.62);
\draw (-3.,2.)-- (-2.,4.);
\draw (-2.,4.)-- (0.,2.);
\draw (-3.,2.)-- (-2.,0.);
\draw (-2.,0.)-- (-2.,2.);
\draw (2.,2.)-- (2.58,-0.02);
\draw (2.58,-0.02)-- (3.,2.);
\draw (1.,2.)-- (2.46,3.96);
\draw (2.46,3.96)-- (4.,2.);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-3.,2.)-- (-2.,2.);
\draw (-2.,2.)-- (0.,2.);
\draw (1.,2.)-- (2.,2.);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.,2.)-- (3.,2.);
\draw (3.,2.)-- (4.,2.);
\draw [fill=white] (-3.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,4.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (4.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.58,-0.02) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (3.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.46,3.96) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/475b506ac0aceabd2be1cd2721f8b0c3.png "\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.86,-0.48) rectangle (4.64,4.62);
\draw (-3.,2.)-- (-2.,4.);
\draw (-2.,4.)-- (0.,2.);
\draw (-3.,2.)-- (-2.,0.);
\draw (-2.,0.)-- (-2.,2.);
\draw (2.,2.)-- (2.58,-0.02);
\draw (2.58,-0.02)-- (3.,2.);
\draw (1.,2.)-- (2.46,3.96);
\draw (2.46,3.96)-- (4.,2.);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-3.,2.)-- (-2.,2.);
\draw (-2.,2.)-- (0.,2.);
\draw (1.,2.)-- (2.,2.);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.,2.)-- (3.,2.);
\draw (3.,2.)-- (4.,2.);
\draw [fill=white] (-3.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,4.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-2.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (4.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.58,-0.02) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (3.,2.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.46,3.96) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}")
-γωνο το οποίο διαμερίζεται σε 
τρίγωνα. Αυτό το επιτυγχάνουμε παίρνοντας μία πλευρά ενός από τα τρίγωνα και τοποθετώντας ένα καινούργιο τρίγωνο με την μία του πλευρά να βρίσκεται στο εσωτερικό της πλευράς που επιλέξαμε όπως ακριβώς κάναμε στην μετάβαση από την περίπτωση 
στην περίπτωση 
.
με περίκεντρο 
και έστω 
σημεία των πλευρών 
. Ο κύκλος 
με ακτίνα 
και κέντρο 
, τέμνει την 
στο 
και τον περιγεγραμμένο κύκλο 
του 
. 
, 
και τα σημεία 
και 
και 
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα 
είναι όλα εγγράψιμα και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους περνούν από κοινό σημείο.
. Τα 
είναι τα ίχνη των καθέτων από το 
στις εξωτερικές διχοτόμους των 
και 
. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων 
και 
εφάπτονται.
. Θεωρούμε ένα μεταβλητό σημείο 
στην πλευρά 
και 
σημεία στις 
και 
ώστε 
και 
. Να αποδείξετε ότι καθώς το 
είναι εγγράψιμο σε κύκλο που περνά από το 
του 
είναι εγγράψιμο.
και 
είναι ίσα (Π-Γ-Π), άρα 
.
και 
είναι ίσα (Π-Γ-Π), άρα 
.
, άρα 
, επομένως το 
είναι εγγράψιμο, δηλαδή ο περιεγγραμένος κύκλος του τρίγωνου 
, εφαπτεί ο περιεγγραμένος κύκλος του τρίγωνου 
. (Αφού 
είναι διάμετρος (
,εφαπτεί ο περιεγγραμένος κύκλος του τρίγωνου 
(Αφού 
είναι άκτινα)
είναι συνευθειακά και 
, είναι η κοίνη εφαπτόμενη των δυο κυκλών.
(Αφού 
είναι άκτινα)
και περίκεντρο 
του 
ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του 
το συμμετρικό του 
και 
τέμνονται στο 
είναι τα μέσα των 
να αποδείξετε ότι τα σημεία 
είναι ομοκυκλικά. 
και ορθογώνια στα 
και 
τα μέσα των 
. Να αποδείξετε ότι τα περίκεντρα των τριγώνων 
είναι συνευθειακά. 
. Δύο κύκλοι περνούν από το 
, αντίστοιχα, και τέμνονται για δεύτερη φορά στο 
με τον 
τέμνονται στο 
εφάπτεται του κύκλου 
, 
, και όμοια, 
.
, οπότε 
, και 
.
.
, και αφού 
μέσα των 
, έπεται ότι 
(1).
είναι ίσα (ορθογώνια, 
), οπότε 
(2).
(3).
(4).
(5).
είναι παραλληλόγραμμο, συνεπώς 
(6).
, η 
, και όμοια 
.
(συνδέει μέσα πλευρών).
έχουν παράλληλες πλευρές, οπότε 
.
(7).
, συνεπώς 
ομοκυκλικά.
το κέντρο του κύκλου που περνάει από τα 
και 
το κέντρο του κύκλου που περνάει από τα 
.
είναι συνευθειακά, όπως και τα 
.
.
, συνεπώς τα 
είναι ομοκυκλικά.
, συνεπώς η 
εφάπτεται στον κύκλο 
.
, οπότε η 
εφάπτεται στον κύκλο 
, και άρα 
(1).
.
, και από εδώ έπεται άμεσα το ζητούμενο.
στα 
και η 
,συτρέχουν στο ριζικό τους κέντρο,έστω 
.Επειδή 
είναι εγγράψιμο.Με κυνήγι γωνιών είναι 
άρα και το 
είναι εγγράψιμο οπότε
.
αυτή θα είναι η ευθεία 
,που δίνει το ζητούμενο.