Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο

#1

: Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Έστω

τυχαίο σημείο της πλευράς

τετραγώνου ABCD

και

σημείο της

ώστε $N\widehat AM=45^0.$

α) Να δείξετε ότι το περίκεντρο

του τριγώνου AMN

είναι σημείο της διαγωνίου AC.

β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\displaystyle{\frac{{KA}}{{KC}}}.$

Grigoris K. · #2

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle MKN = 90^o }$ , άρα $\displaystyle{ MCNK}$ εγγράψιμο. Όμως $\displaystyle{ KM = KN }$ , άρα $\displaystyle{ \angle MCK = 45^o =\angle MCA}$ .

Επομένως $\displaystyle{ A,K,C }$ συνευθειακά. Έπειτα από το Θ. Πτολεμαίου λαμβάνουμε $\displaystyle{ KM \cdot CN + KN \cdot CM = KC \cdot MN \implies}$

$\displaystyle{ KA \cdot CN + KA \cdot CM = KC \cdot \sqrt{CN^2 + CM^2} \implies \frac{KA}{KC} = \frac{\sqrt{CN^2 + CM^2}}{CN+CM} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} }$ .

Το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν CN = CM

.

Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο

Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο

Re: Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο

Μέλη σε σύνδεση