Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση)

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA188 Γενίκευση.png (29.85 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Εστω ισοσκελές τρίγωνο ABC, AB=AC

και τυχαίο σημείο

, του τόξου

του περίκυκλού του, που δεν περιέχει το

.

Αν

σημεία των AB, AC

αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\hat{MDN}=\hat{B}=\hat{C}$ και οι DM, DN

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα,

δείξτε ότι : (APQ)=(MPQN)

Σημείωση:Η παραπάνω γενίκευση αυτής οφείλεται στον φίλο Κώστα Βήττα

#2

sakis1963 έγραψε:Σημείωση:Η παραπάνω γενίκευση αυτής οφείλεται στον φίλο Κώστα Βήττα

Όμως, είναι διαπίστωση με το σχεδιαστικό πρόγραμμα υπολογιστή. Ενδιαφέρον πρόβλημα ( αληθεύει ) αλλά δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση.

Κώστας Βήττας.

#3

Αξιοποιώντας μία ιδέα που μου εμπιστεύθηκε ο θεματοδότης.

$\bullet$ Οι περίκυκλοι των εγγραψίμων τετραπλεύρων $\vartriangle MBDQ,\ \vartriangle NCDP$ επανατέμνονται στο σημείο έστω

, το οποίο ανήκει στην ευθεία

( εύκολο ).

Ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle SPQ$ επανατέμνει την

, στο σημείο έστω

.

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $BMSQ,\ PTSQ$ έχουμε $\angle AMS = \angle BQS = \angle PTM\Rightarrow$ $TP\parallel AB\ \ \ ,(1)$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $TQ\parallel AC\ \ \ ,(2)$

: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό ( γενίκευση ).; f=178_t=59422.png (26.33 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

$\bullet$ Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $(APT) = (MPT)\ \ \ ,(3)$ και $(AQT) = (NQT)\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)\Rightarrow$ $(APT) + (TPQ) + (AQT) = (MPT) + (TPQ) + (NQT)\Rightarrow$ (APQ) = (MPQN)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι η γενίκευση δεν αφορά σε χαρταετό. Η αναφορά έγινε όπως λέει ο Σάκης, για την σύνδεση των δύο ( σχετικών ) προβλημάτων όπως τέθηκαν στο φόρουμ, με κοινό δοσμένο ( έμμεσα ή άμεσα ) χαρακτηριστικό ότι $\angle MDN = \angle B = \angle C$ .

Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση)

Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση)

Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση)

Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση)

Μέλη σε σύνδεση