Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

#1

Έστω

κάποια ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^{3}+x+1$ .

Να εκφράσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x=\frac{1}{a}}$ , $\displaystyle{y=\frac{1}{a+1}}$ και $\displaystyle{z=\frac{1}{a+2}}$

στη μορφή $q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$ , όπου $q_{1},q_{2},q_{3}$ ρητοί αριθμοί.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω κάποια ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^{3}+x+1$ .

Να εκφράσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x=\frac{1}{a}}$ , $\displaystyle{y=\frac{1}{a+1}}$ και $\displaystyle{z=\frac{1}{a+2}}$

στη μορφή $q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$ , όπου $q_{1},q_{2},q_{3}$ ρητοί αριθμοί.

Ας κάνω την αρχή. Έχουμε a^3+a+1=0

, άρα

, άρα $\displaystyle{\frac{1}{a}=-1-a^2}$ . (Αφού $a\neq0$ )

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω κάποια ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^{3}+x+1$ .

Να εκφράσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x=\frac{1}{a}}$ , $\displaystyle{y=\frac{1}{a+1}}$ και $\displaystyle{z=\frac{1}{a+2}}$

στη μορφή $q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$ , όπου $q_{1},q_{2},q_{3}$ ρητοί αριθμοί.

Άλλος τρόπος (κάνω μόνο το πρώτο, τα άλλα όμοια).

Έστω ότι $\frac{1}{a} = q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$

Τότε με χρήση της δοθείσας είναι $1 = q_{1}a+q_{2}a^2+q_{3}a^{3}=$
$= q_{1}a+q_{2}a^2+q_{3}(-1 -a) = -q_3 + (q_1-q_3)a + q_2a^2$ .

Συγκρίνοντας συντελεστές, είναι -q_3 = 1, q_1-q_3=0, q_2 = 0

,
άρα

.

Ελέγχουμε τώρα με πολλαπλασιασμό ότι πράγματι $\frac{1}{a} = -1 -a^{2}$

Ακριβώς η ίδια μέθοδος για τα υπόλοιπα.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω κάποια ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^{3}+x+1$ .

Να εκφράσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x=\frac{1}{a}}$ , $\displaystyle{y=\frac{1}{a+1}}$ και $\displaystyle{z=\frac{1}{a+2}}$

στη μορφή $q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$ , όπου $q_{1},q_{2},q_{3}$ ρητοί αριθμοί.
Άλλος τρόπος (κάνω μόνο το πρώτο, τα άλλα όμοια).

Έστω ότι $\frac{1}{a} = q_{1}+q_{2}a+q_{3}a^{2}$

Τότε με χρήση της δοθείσας είναι $1 = q_{1}a+q_{2}a^2+q_{3}a^{3}=$
$= q_{1}a+q_{2}a^2+q_{3}(-1 -a) = -q_3 + (q_1-q_3)a + q_2a^2$ .

Συγκρίνοντας συντελεστές, είναι ,
άρα .

Ελέγχουμε τώρα με πολλαπλασιασμό ότι πράγματι $\frac{1}{a} = -1 -a^{2}$

Ακριβώς η ίδια μέθοδος για τα υπόλοιπα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Όμορφα! μπορούμε να βρούμε και έναν τρόπο που να μην ανάγεται στην επίλυση συστήματος κατά την εξίσωση των συντελεστών (κάτι που θα απαιτούσε και την κατάλληλη δικαιολόγηση, πράγμα που δεν ενδείκνυται για την τάξη αυτή), παρά μόνο την χρήση ταυτοτήτων; (λύση που καθιστά την άσκηση κατάλληλη για αυτό το επίπεδο)

#5

Ας δώσω την λύση μιας και πάει να ξεχαστεί το θεματάκι:

Αφού το

είναι ρίζα του πολυωνύμου, έχουμε ότι a^3+a+1=0

, άρα

, άρα $\displaystyle{\frac{1}{a+2}=\frac{5}{9}-\frac{2}{9}a+\frac{1}{9}a^2}$ .

Όμοια και το άλλο.

Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Re: Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Re: Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Re: Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Re: Αλγεβρικές σχέσεις (Θεωρία Σωμάτων για μικρούς)

Μέλη σε σύνδεση