Περίεργο πρόβλημα

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την τιμή του

, για την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα όλων των πραγματικών ριζών της εξίσωσης

$\dfrac{f(a)\cdot x^2+1}{x^2+g(a)} = \sqrt{\dfrac{xg(a)-1}{f(a)-x}}$ ,

όπου

$f(a) = a^2-\sqrt{21}a+26$ ,

$g(a) = \dfrac{3}{2} a^2-\sqrt{21}a+27$ .

Επίτιμος Κ · #2

Χάριν συντομίας ας βάλουμε f(a)=f

και

. Επίσης $F(x)=\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}$ και $G(x)=\sqrt{\frac{xg-1}{f-x}}$
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι F(G(x))=x

δηλαδή ότι

και

είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ

η δεν είναι συμμετρική ως προς την Y=x

.
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της F(x)=G(x)

είναι ακριβώς τα σημεία τομής των

και

ή καλύτερα τα σημεία τομής της

και

δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης $\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}=x \Rightarrow x^{3}-x^{2}f+xg-1=0$
Με το Θ Bolzano στα σημεία 0,1 και 2 βρίσκουμε ότι μεταξύ αυτών η εν λόγω εξίσωση έχει δυο ρίζες και επειδή είναι τρίτου βαθμού έχει ακριβώς τρεις ρίζες των οποίων το άθροισμα από τους τύπους Vieta είναι το τριώνυμο $f=a^{2}-\sqrt{21}a+26$ . Αυτό ως γνωστόν έχει ελάχιστο στη θέση $\frac{\sqrt{21}}{2}$
Κλείνοντας να πω ότι ο έλεγχος της ορθότητας κάποιων μη αποδεδειγμένων ισχυρισμών πιστεύω ότι είναι εύκολος και χάριν συντομίας τους παρέλειψα.
Επίσης δεν ξέρω αν το άθροισμα των ριζών βγαίνει διαφορετικά. Κάποτε οι τύποι Vieta ήταν στα σχολικά βιβλία.

Ευχαριστώ

Al.Koutsouridis · #3

Μου άρεσε το πρόβλημα γιατί τα επιμέρους λογικά βήματα προς την λύση μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως ανεξάρτητα ερωτήματα για ένα πιο αρθρωτό θέμα. Καθώς και μερικές ιδέες για δημιουργία πανομοιότυπων.

Για την ιστορία το πρόβλημα είναι από μια ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου που οργανώνει το πανεπιστήμιο της Μόσχας. Ονομάζεται "Κατακτήστε τους λόφους των σπουργιτιών" (περιοχή που είναι χτισμένο το πανεπιστήμιο). Εντάσσεται σε μια σειρά ολυμπιάδων, μαζί με άλλες που οργανώνουν μερικά ακόμη πανεπιστήμια και φορείς για ανεύρεση ταλαντούχων υποψηφίων. Οι νικητές κερδίζουν έξτρα μόρια για την εισαγωγή τους στα πανεπιστήμια.

Επίτιμος Κ · #4

Επιτρέψτε μου μια μικρή διαφωνία κ Koutsouridi. Αν το πρόβλημα δινόταν κατά τρόπο αρθρωτό προσωπικά δεν θα με ενδιέφερε. Αισθάνομαι άβολα όταν μου κατευθύνουν τη σκέψη. Το πρόβλημα τέθηκε όχι μόνο έξυπνα, αλλά υπέροχα, όπως ακριβώς αισθάνθηκα και εγώ όταν έφτασα στη λύση του.
Ευχαριστώ

Al.Koutsouridis · #5

Επίτιμος Κ έγραψε: Τρί Οκτ 31, 2017 6:37 am Επιτρέψτε μου μια μικρή διαφωνία κ Koutsouridi. Αν το πρόβλημα δινόταν κατά τρόπο αρθρωτό προσωπικά δεν θα με ενδιέφερε. Αισθάνομαι άβολα όταν μου κατευθύνουν τη σκέψη. Το πρόβλημα τέθηκε όχι μόνο έξυπνα, αλλά υπέροχα, όπως ακριβώς αισθάνθηκα και εγώ όταν έφτασα στη λύση του.
Ευχαριστώ

Συμφωνώ και επαυξάνω. Το είπα δεδομένων των παρουσών συνθηκών και της δομής των θεμάτων των Πανελληνίων. Ο μέσος μαθητής θα το έβρισκε σχετικά δύσκολο και δε θα ασχολούνταν. Με την άρθρωση μαιευτικά ίσως να είχαμε περισσότεροι συμμετοχή. Από όσους συμμετείχαν, μερικοί θα έβλεπαν και την ομορφιά του όλου και έτσι να μην βγαίναμε τελείως χαμένοι.

Βέβαια μια φορά που προσπάθησα να κάνω κάτι τέτοιο σε άλλο θέμα εδώ δε θα έλεγα ότι ήταν πετυχημένη. Εκεί το αρχικό πρόβλημα ήταν μόνο το ερώτημα Δ4.

Proclus · #6

Επίτιμος Κ έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2017 12:04 pm Χάριν συντομίας ας βάλουμε και . Επίσης $F(x)=\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}$ και $G(x)=\sqrt{\frac{xg-1}{f-x}}$
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και

Το "κατοπιν-ακριβως" απο που προκυπτει?
Πχ οι συναρτησεις
$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} f(x) = \frac{{ - {{\rm{e}}^x} + {{\rm{e}}^{ - x}}}}{{41}} + 1\\ g(x) = \ln \left( {\frac{{41 - 41x + \sqrt {1685 - 3362x + 1681{x^2}} }}{2}} \right) \end{array}}$

Ειναι αντιστροφες (πχ $\displaystyle{\displaystyle {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$ ), η f(x) (οπως και η g(x)) δεν ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y=x ομως οι πραγματικες ριζες της f(x)=g(x)

δεν δίνονται όλες από την f(x)=x

αφου εχουν και άλλες ρίζες.

Εικόνα

Al.Koutsouridis · #7

Proclus έγραψε: Δευ Δεκ 03, 2018 11:27 pm
Επίτιμος Κ έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2017 12:04 pm Χάριν συντομίας ας βάλουμε και . Επίσης $F(x)=\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}$ και $G(x)=\sqrt{\frac{xg-1}{f-x}}$
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και
Το "κατοπιν-ακριβως" απο που προκυπτει?
Πχ οι συναρτησεις
$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} f(x) = \frac{{ - {{\rm{e}}^x} + {{\rm{e}}^{ - x}}}}{{41}} + 1\\ g(x) = \ln \left( {\frac{{41 - 41x + \sqrt {1685 - 3362x + 1681{x^2}} }}{2}} \right) \end{array}}$

Ειναι αντιστροφες (πχ $\displaystyle{\displaystyle {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$ ), η f(x) (οπως και η g(x)) δεν ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y=x ομως οι πραγματικες ριζες της δεν δίνονται όλες από την αφου εχουν και άλλες ρίζες.

Η παραπάνω λύση είναι ελλιπής ως προς την δικαιολόγηση. Για την πληρότητα της λύσης με αυτό το τρόπο θα πρέπει να δειχθεί ότι η F(x)

είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα) και ύστερα για τις αύξουσες συναρτήσεις η εξίσωση F(F(x))=x

ότι είναι ισοδύναμη με την F(x) =x

και συνεχίζουμε την λύση...

Περίεργο πρόβλημα

Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Re: Περίεργο πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση